江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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第I卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 展开式中，项的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. -1D.
4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
5. 设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（ ）【注：若，则】
A. 16B. 25C. 36D. 49
6. 已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（ ）
A 3B. C. 2D.
8. 满足的实数对共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
二、多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确是（ ）
A. 已知，则
B. 若，，且，则A，B相互独立
C. 若随机变量，则
D. 二项展开式的所有项的系数和为
10. 已知，是双曲线：与椭圆：的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，则（ ）
A.
B. 若，则的方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若的内切圆面积为π，则的离心率为
11. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
13. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______.
14. 有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，，，.
（1）求外接圆的标准方程；
（2）已知P为线段上异于A，B的点，Q为线段的延长线上一点，若，请判断点Q与的外接圆的位置关系，并求点Q到直线的距离的最大值.
16. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点.
（1）用，，表示向量，并求线段的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人.
（1）若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少?
（2）记在A公司实习的同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，.
（1）证明：平面；
（2）动点在所在平面内，且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成的角为，求的最大值.
19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于M，N两点，四边形的面积为.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的垂线（点A，B分别位于m的左、右两侧），垂足分别为P，Q，分别记，，的面积为，，.
①求证：直线过定点；
②试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.