专题01 相交线与平行线有关的11种热考模型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

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目 录
考点一：线段双中点模型
1．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段AB=16cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A． 8cmB． 9cmC． 7cm或5cmD． 7cm或9cm
【答案】A
【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键．
分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解．
【详解】解：①当点C在线段AB上时，如图所示：
∵AB=16cm，BC=2cm，
∴AC=16−2=14（cm），
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MC=12AC=7 cm，CN=12BC=1 cm，
∴MN=MC+NC=8（cm）．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AB=16cm，BC=2cm，
∴AC=16+2=18（cm），
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MC=12AC=9 cm，NC=12BC=1 cm，
∴MN=MC−NC=8（cm）．
综上所述，线段MN的长度是8cm．
故选：A．
2．（2025花都区零模）已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为−8,0,4，动点P从A点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，点P在从A点运动到B点的过程中，则线段MN的长度为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点的计算公式，设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为−8+vt，再根据数轴上两点中点计算公式得到点M表示的数为−16+vt2，点N表示的数为−4+vt2，则MN=−16+vt2−−4+vt2=−6=6．
【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为−8+vt，
∵点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，
∴点M表示的数为−8−8+vt2=−16+vt2，点N表示的数为−8+vt+42=−4+vt2，
∴MN=−16+vt2−−4+vt2=−6=6，
故选：A．
3．（2026蒙自市模拟预测）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm.
【答案】2或22
【分析】根据两点间的距离，分两种情况计算即可.
【详解】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时，
此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2(cm)；
当两条线段一端重合，另一端方向相反时，
此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22(cm)；
故答案为2或22.
【点睛】本题考查线段的中点的定义，能分类讨论是解决此题的关键.
4．（2025·北京·模拟预测）如图，点C、D是线段AB上两点（点C在点D左侧），已知AC:CD:BD=3:2:4，点M、N分别是线段AD和CB的中点，若AD=10cm，求MN的长．
【答案】7cm
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设AC=3xcm，则CD=2xcm，BD=4xcm，即得AB=AC+CD+BD=9xcm，再根据AD=10cm可求得x=2，即得到AC=6cm，CD=4cm，BD=8cm，AB=18cm，BC=12cm，再根据线段中点的定义求出AM、BN的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：设AC=3xcm，则CD=2xcm，BD=4xcm，
∴AB=AC+CD+BD=9xcm，
∵AD=10cm，
∴3x+2x=10，
解得x=2，
∴AC=6cm，CD=4cm，BD=8cm，AB=18cm，
∴BC=CD+BD=4+8=12cm，
∵点M、N分别是线段AD、CB的中点，
∴AM=12AD=12×10=5cm，BN=12BC=12×12=6cm，
∴MN=AB−AM−BN=18−5−6=7cm．
5．（2024肃南裕固县一模）已知：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=16，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1； 第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3，连续这样操作4 次，则M4N4= ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得AM−AN=MN，根据线段的差可得M1N1=12MN，M2N2=122MN，M3N3=123MN的长度表示，根据规律进行推理即可得出MnNn，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
∵MN=16，
∴AM−AN=MN=16，
∵线段 AM 和 AN的中点 M1，N1，
∴M1N1=AM2−AN2=AM−AN2=12MN，
同理：M2N2=AM12−AN12=12M1N1=122MN，
∴M3N3=123MN，
……
依次类推， MnNn=12nMN，
∴M4N4=124×16=1，
故答案为：4．
考点二：双角平分线模型
6．（2024·江苏南京·中考真题）如图，点A, O, B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．若∠AOE=162°，则∠BOD= °．
【答案】108
【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解∠BOE=180°−162°=18°，可得∠BOC=36°，可得∠AOC=180°−36°=144°，可得∠AOD=∠COD=72°，再进一步结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：∵∠AOE=162°，
∴∠BOE=180°−162°=18°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE=∠COE=18°，
∴∠BOC=36°，
∴∠AOC=180°−36°=144°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=72°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=36°+72°=108°；
故答案为：108
7．（2025河北省模拟预测）如图，∠AOB=90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD，若∠BOE=23°，则∠BOC的度数是（ ）
A．113°B．134°C．136°D．144°
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是角的计算，角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角的计算方法．
先根据角平分线的定义得到∠AOC=∠AOD=12∠COD，∠DOE=∠BOE=12∠BOD，由∠BOE=23°即可得到∠BOD的度数，再由∠AOD=∠AOB−∠BOD即可得到∠AOC和∠AOD的度数，最后由∠BOC=∠AOB+∠AOC即可得解．
【详解】解：∵OA平分∠COD，OE平分∠BOD，
∴∠AOC=∠AOD=12∠COD，∠DOE=∠BOE=12∠BOD，
∵∠BOE=23°，
∴∠BOD=2∠BOE=46°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠AOD=∠AOB−∠BOD=44°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+44°=134°．
故选：B．
8．如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=m°，∠BOC=n°，则∠AOD的度数为（ ）
A．m+n°B．m+2n°C．2m−n°D．2m+n°
【答案】C
【分析】由∠MON−∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD＋∠AOB度数，根据∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，
∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°，
∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°，
则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°．
故选C．
【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．
9．如图，∠AOB=α,∠BOC=β,OM,ON分别平分∠AOB ，∠COB,OH平分∠AOC，下列结论:①∠MON=∠HOC；②2∠MOH=∠AOH−∠BOH；③2∠MON=∠AOC+∠BOH；④2∠NOH=∠COH+∠BOH.其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.
【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC
∴∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC
∴∠MON=12∠AOC，∠HOC=12∠AOC
∴∠MON=∠HOC，故①正确；
2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；
2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③不正确；
2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；
故答案选择C.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.
10．如图，已知∠AOB内部有三条射线OE,OC，OF,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC．

（1）若∠AOC=30°,∠BOC=60°，则∠EOF=_______________；
（2）若∠AOC=α,∠BOC=β，则∠EOF=_______________；
（3）若∠AOB=θ，你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由．
【拓展提问1】若射线OC在∠AOB的外部如图所示位置，且∠AOB=θ,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC，则上述（3）中的结论还成立吗？请说明理由．

【拓展提问2】若射线OC在∠AOB的外部如图所示位置，OE平分∠BOC,OF平分∠AOC，则∠EOF与∠AOB的数量关系是_______________．

【答案】（1）45°；（2）α+β2；（3）∠EOF=12θ，理由见解析
【拓展提问1】∠EOF=12θ成立，理由见解析
【拓展提问2】∠EOF=180°−12∠AOB
【分析】（1）依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，再依据∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可；
（2）依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，再依据∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可；
（3）依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，再依据∠EOF=∠EOC+∠FOC求解即可；
【拓展】依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，再依据∠EOF=∠EOC+∠FOC=12∠AOB，便可得结果；
【拓展提问1】依据角平分线的定义求得∠EOC、∠FOC的度数，再依据∠EOF=∠FOC−∠EOC=12∠AOB，便可得结果
【拓展提问2】依据角平分线的定义求得∠EOC=12∠BOC,∠COF=12∠AOC．所以∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12∠BOC+∠AOC，又因为∠BOC+∠AOC+∠AOB=360°，代入即可得出结论．
【详解】解：（1）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠FOC=15°，∠EOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=45°；
（2）∵∠AOC=α，∠BOC=β，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12(∠BOC+∠AOC)=12(α+β)；
（3）∠EOF=12θ，
理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
所以∠EOC=12∠BOC,∠COF=12∠AOC．
所以∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC =12∠BOC+∠AOC=12∠AOB=12θ．
【拓展提问1】
解：∠EOF=12θ成立．
理由：因为OE平分∠BOC,OF平分∠AOC，
所以∠EOC=12∠BOC,∠COF=12∠AOC．
所以∠EOF=∠COF−∠EOC=12∠AOC−12∠BOC =12∠AOC−∠BOC=12∠AOB=12θ．
【拓展提问2】
解：∠EOF=180°−12∠AOB，
理由：因为OE平分∠BOC,OF平分∠AOC，
所以∠EOC=12∠BOC,∠COF=12∠AOC．
所以∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12∠BOC+∠AOC，
因为∠BOC+∠AOC+∠AOB=360°，
所以∠BOC+∠AOC=360°−∠AOB，
∴∠EOF=12360°−∠AOB=180°−12∠AOB．
【点睛】本题主要考查与角平分线有关系的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分的关系是解题的关键．
考点三：三线八角的识别
11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．∠2与∠3B．∠1与∠4C．∠5与∠7D．∠1与∠8
【答案】C
【分析】根据同位角的定义判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠7是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠8不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：C．
12．（2025长沙市模拟）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠6是对顶角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【答案】C
【分析】此题主要考查了同位角，同旁内角，内错角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
B、∠3与∠6是对顶角，原说法正确，不符合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，原说法错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
13．（2025淄川区二模）如图，以下说法正确的是（ ）

A．∠GFB和∠HCD是同位角B．∠GFB和∠FCH是同位角
C．∠AFC和∠HCD是内错角D．∠GFC和∠FCD是同旁内角
【答案】D
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∠GFB和∠HCD不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意；
B、∠GEF和∠FCH是同位角，故B不符合题意；
C、∠AFC和∠FCD是内错角，故C不符合题意；
D、∠GFC和∠FCD是同旁内角，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．
考点四：猪蹄模型
14．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
过点C作CM∥AB，得到CM∥DE，推出∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°，即可求出∠BCM+∠ECM=110°．
【详解】解：过点C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°，
∴∠BCM+∠ECM=30°+80°=110°．
故选：D．
15．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若∠1+∠2=35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．145°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
根据题意可得AC∥FO,DB∥FO，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解．
【详解】解：如图，根据题意可得AC∥FO,DB∥FO，
∴∠AFO=∠1,∠BFO=∠2，
∵∠1+∠2=35°，
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=∠1+∠2=35°；
故选：A．
16．（2024·海南·中考真题）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（ ）
A．70°B．65°C．25°D．20°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线CD平行于直线m，易得m∥CD∥n，根据平行线的性质可得∠3=∠1=25°，由∠ACB=45°可求出∠4的度数，再由平行线的性质可得∠2的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线CD平行于直线m，
∵直线m∥n，
∴m∥CD∥n，
∴∠3=∠1=25°，∠4=∠2，
由题意可得∠ACB=45°，
∴∠4=45°−25°=20°，
∴∠2=∠4=20°，
故选：D．
17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出∠ABC=∠1+∠2，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
过点B作BE∥a，
∵a∥b，
∴BE∥a∥b，
∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，
∵∠2=41°，
∴∠1=90°−41°=49°；
故选C．
18．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若∠1=150°, ∠3=25°，则∠2的度数是（ ）

A．55°B．50°C．60°D．65°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作EF∥AB，则可证EF∥AB∥CD，则∠FEC=∠3=25°，∠FEB=180°−∠1=180°−150°=30°，则题目可解．
【详解】解：作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠3=25°，
∠FEB=180°−∠1=180°−150°=30°，
∴∠2=∠FEB+∠FEC=30°+25°=55°．
故选：A．
19．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得∠EBC+∠DCB=180°，从而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．
【详解】解：∵l∥m，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵∠ABE=21°，
∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，
∴∠ACD=39°，
故选：B．
20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出∠BGP,∠DGP的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出∠EGF的度数即可．
【详解】解：∵PQ∥AB,CD∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP=180°,∠CDG+∠DGP=180°，
∵∠ABE=130°，∠CDF=150°，
∴∠BGP=50°,∠DGP=30°，
∴∠EGF=∠BGD=∠BGP+∠DGP=50°+30°=80°；
故选C
21．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，AB∥DE，∠B=55°，∠D=40°，求∠BCD的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作CF∥AB．方案Ⅱ：如图3，延长DC交AB于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行内错角相等．方案Ⅰ：过点C作CF∥AB，得到CF∥DE，由平行线的性质推出∠BCD=∠B+∠D=95°；方案Ⅱ：延长DC交AB于点F，由平行线的性质推出∠BFC=∠D，由三角形的外角性质得到∠BCD=∠B+∠D=95°，于是得到答案．
【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF=∠B,∠DCF=∠D，
∴∠BCF+∠DCF=∠B+∠D，
∴∠BCD=∠B+∠D=95°；
方案Ⅱ：如图3，延长DC交AB于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFC=∠D，
∵∠BCD=∠B+∠BFC，
∴∠BCD=∠B+∠D=95°，
∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行．
故选D．
22．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，若点F为球的中心，入射波AO与法线的夹角∠1=30°，则∠A'O'F=（ ）

A．70°B．60°C．45°D．35°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点F作CC'∥OA，可得CC'∥OA∥O'A'，根据题意得∠AOF=60°，再由平行线的性质得到∠A'O'F=∠CFO'=∠CFO=60°，从而得出答案．
【详解】解：过点F作CC'∥OA，OH为法线，如图：

∵OA∥O'A'，
∴CC'∥OA∥O'A'，
∴CC'⊥EG，
∴CC'为法线，
∴∠CFO=∠CFO'，
∵OH为法线，∠1=30°，
∴∠FOH=∠1=30°，
∴∠AOF=60°，
∵CC'∥OA，
∴∠A'O'F=∠CFO'=∠CFO=60°，
∵CC'∥O'A'，
∴∠A'O'F=∠CFO'=60°，
故选：B．
考点五：铅笔模型
23．（2025·四川凉山·中考真题）如图，DF∥AB，∠BAC=120°，∠ACE=100°，则∠CED=（ ）
A．30°B．40°C．60°D．80°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，过点C作CG∥AB，易得DF∥AB∥CG，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，
∵DF∥AB，
∴DF∥AB∥CG，
∴∠1+∠CAB=180°,∠2=∠CED，
∵∠BAC=120°，∠ACE=100°，
∴∠1=60°,∠2=∠ACE−∠1=40°，
∴∠CED=∠2=40°；
故选B．
24．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，AB∥EF，若∠A=100°，∠P=130°，则∠E的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作PC∥AB，则AB∥EF∥PC，根据平行线的性质可得∠E+∠EPC=180°，∠A+∠APC=180°，据此先求出∠APC的度数，再求出∠EPC的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作PC∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥PC，
∴∠E+∠EPC=180°，∠A+∠APC=180°，
∵∠A=100°，
∴∠APC=80°；
∵∠APE=130°，
∴∠EPC=∠APE−∠APC=50°，
∴∠E=130°，
故选：D．
25．（2025·云南·模拟预测）某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告：
调查问题：∠A+∠B+∠C+∠CDP的度数为（ ）
A．180°B．270°C．360°D．450°
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角的性质、平行线的判定和性质，解题的关键是能正确做出辅助线．
延长DP交BC于点Q，则∠BQD=∠C+∠CDP，过点B作AE∥ST，则∠A+∠ABS=180°，根据题意得ST∥DQ，则∠SBC+∠BQD=180°，结合∠A+∠ABC+∠C+∠CDP =∠A+∠ABC+∠DQB =∠A+∠ABS+∠SBC+∠BQD即可；
【详解】解：
延长DP交BC于点Q，则∠BQD=∠C+∠CDP，
过点B作AE∥ST，则∠A+∠ABS=180°，
∵地面MN、桌面AE均为水平面，DP∥MN，
∴ST∥DQ，
∴∠SBC+∠BQD=180°，
则∠A+∠ABC+∠C+∠CDP
=∠A+∠ABC+∠DQB
=∠A+∠ABS+∠SBC+∠BQD
=180°+180°
=360°
故选：C
26．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻AB∥DE，∠BAC=35°，∠CDE=135°，则∠ACD的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线辅助线是解题的关键．
过点C作CF∥AB，利用平行线的性质得到∠ACF=∠BAC=35°，∠DCF=180°−∠CDE=45°，再利用角的和差即可求出∠ACD的度数．
【详解】解：如图，过点C作CF∥AB，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC=35°，
∵CF∥AB，AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠DCF+∠CDE=180°，
∴∠DCF=180°−∠CDE=180°−135°=45°，
∴∠ACD=∠ACF+∠DCF=35°+45°=80°．
故选：C．
考点六：大脚模型与骨折模型
27．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，AB∥CD，∠D=30°，∠F=15°，则∠B的度数是（ ）．
A．40°B．45°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出∠CEF=45°，再由平行线的性质即可得到∠B=∠CEF=45°．
【详解】解：∵∠D=30°，∠F=15°，
∴∠CEF=∠D+∠F=45°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CEF=45°，
故选：B．
28．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，AB∥CD，∠1=36°，∠2=60°，则∠3的度数是（ ）
A．36°B．34°C．26°D．24°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到∠BFE=∠2=60°，然后根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：设EC和AB交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠2=60°，
∴∠3=∠BFE−∠1=60°−36°=24°，
故选：D．
29．（2025·陕西·模拟预测）如图，AB∥CD，∠BAE=135°，∠CEA=14°，则∠ECD的度数为（ ）
A．149°B．121°C．107°D．130°
【答案】B
【分析】该题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．延长EA交CD于点F，根据AB∥CD得出∠AFD=∠BAE=135°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长EA交CD于点F，
∵AB∥CD，∠BAE=135°，
∴∠AFD=∠BAE=135°，
∵∠CEA=14°，
∴∠ECD=∠AFD−∠CEA=135°−14°=121°，
故选：B．
30．（2025孝感市三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠B=110°，∠E=30°，则∠ECB= °．
【答案】40
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据AB∥CD,∠B=110°求出∠BCD的度数，再由CD∥EF,∠E=30°求出∠ECD的度数，进而可得出结论．
【详解】∵AB∥CD,∠B=110°，
∴∠BCD=∠B=110°,
∵CD∥EF,∠E=30°,
∴∠ECD=180°−∠E=180°−30°=150°,
∴∠ECB=∠ECD−∠BCD=150°−110°=40°.
故答案为：40．
31．（2025山丹县三模）如图，AB∥CD∥EF，若∠B=55°，∠E=150°，则∠BCE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得∠BCD=∠B=55°，∠DCE+∠E=∠DCE+150°=180°，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∠B=55°，∠E=150°，
∴∠BCD=∠B=55°，∠DCE+∠E=∠DCE+150°=180°，
∴∠DCE=30°，
∴∠BCE=∠BCD−∠DCE=25°．
故选：C
32．（2025舞阳县三模）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=85°，∠DCE=125°，则∠AEC的度数是（ ）
A．28°B．30°C．40°D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
延长DC，交AE于点M，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠CME的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数，即可解答．
【详解】解：延长DC，交AE于点M，如图
∴AB∥CD，
∴∠CME=∠BAE=85°，
∴∠AEC=∠DCE−∠CME=125°−85°=40°．
故选C．
考点七：平行平分三等角
33．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求∠CBD=∠BDE=30°，由角平分线的定义得∠ABC=2∠CBD=60°，然后再根据平行线的性质可得∠AED的度数．
【详解】∵DE∥BC，∠BDE=30°，
∴∠CBD=∠BDE=30°，
由作图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=60°．
故选C．
34．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知∠AEG=∠FEG，结合∠AEF=80°，求出∠AEG=∠FEG=12∠AEF=40°，再利用平行线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知∠AEG=∠FEG，
∵∠AEF=80°，
∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°，
故选：D．
35．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得：AP平分∠BAD，即∠BAG=∠DAG，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得BA=BG=6，进一步即可求解.
【详解】解：根据题意可得：AP平分∠BAD，即∠BAG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠BGA，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BA=BG=6，
∵BC=10，
∴CG=BC−BG=4；
故选：A.
36．（2025·湖南·三模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠2=55°，则∠1的度数是（ ）
A．70°B．55°C．50°D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义等知识；由平行线的性质得∠BEG=∠2=55°，由EG平分∠BEF得∠FEG=∠BEG=55°，则由∠1=180°−∠FEG−∠BEG即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2=55°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG=∠BEG=55°，
∴∠1=180°−∠FEG−∠BEG=180°−55°−55°=70°，
故选：A．
37．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，AB∥CD，点E是直线AB上的点，过点E的直线l交直线CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中∠1,∠2的度数可以分别是（）
A．30°,110°B．56°,70°C．70°,40°D．100°,40°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得∠BEG，根据角平分线的定义得到∠BEF，根据邻补角互补求出∠2即可求解，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：A、∵ AB∥CD，
∴ ∠BEG=∠1=30°，
∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEF=2∠BEG=60°，
∴ ∠2=180−∠BEF=120°，故选项不符合题意；
B、∵ AB∥CD，
∴ ∠BEG=∠1=56°，
∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEF=2∠BEG=112°，
∴∠2=180°−∠BEF=68°，故选项不符合题意；
C、∵ AB∥CD，
∴ ∠BEG=∠1=70°，
∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEF=2∠BEG=140°，
∴ ∠2=180°−∠BEF=40°，故选项符合题意；
D、∵ AB∥CD，
∴ ∠BEG=∠1=100°，
∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEF=2∠BEG=200°，
∴ ∠2=360°−∠BEF=160°，故选项不符合题意，
故选：C．
考点八：等积变换模型
38．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为 ．
【答案】38/0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN=BM，继而得出S△ABF=S△ABM，通过解直角三角形得出BM=BC−CM=34，即可求解．
【详解】解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠FMC，
∴AB∥FM，
∴FN=BM，
∵S△ABF=12AB⋅FN,S△ABM=12AB⋅BM,
∴S△ABF=S△ABM，
∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=BC，∠EBC=30°，
∴∠BFC=90°,∠BCF=60°,CF=12BC=12，
∴∠CFM=90°−∠BCF=30°，
∴CM=12CF=14，
∴BM=BC−CM=34，
∴S△ABF=S△ABM=12×1×34=38，
故答案为：38．
39．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= ．
【答案】19
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设AD，BC的距离为d，则S△ABDS△BCD=12AD⋅d12BC⋅d=13，即ADBC=13，证明△AOD∽△COB，则S△AODS△BOC=ADBC2，计算求解即可．
【详解】解：设AD，BC的距离为d，
∴S△ABDS△BCD=12AD⋅d12BC⋅d=13，即ADBC=13，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AODS△BOC=ADBC2=132=19，
故答案为：19．
40．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，△ABC的面积为10，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AD=2，DB=3，△ABE的面积与四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系．
由题意可知△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE,DC的方法，证明出DE∥AC，进而求出△BDC的面积，然后即可求出答案．
【详解】解：连接DE,DC．
∵S四边形DBEF=S△ABE,S四边形DBEF=S△BDE+S△FDE,S△ABE=S△BDE+S△ADE，
∴S△ADE=S△FDE，
∵两个三角形有公共底DE，且面积相等，
∴高相等，
∴DE∥AC，
从而可得：S△ADE=S△CDE，
∴S△ABE=S△BDC，
又AD=2,DB=3，
∴S△BDC=35S△ABC=35×10=6，
即S△ABE=6，
故选：C．
41．（2025·湖南娄底·三模）如图，在Rt△ABC中，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为ts．在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
【答案】保持不变
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
【详解】解：设平行线l1与l2之间的距离为ℎ，则S△PBC=12BC⋅ℎ，
而SRt△ABC=12BC⋅AB=12BC⋅ℎ，
∴S△PBC=SRt△ABC，
∴在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
42．（2025·浙江·二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P是对角线AC上一点（点P不与端点重合），过点P作PQ∥AB交BC于点Q，交CE于点O．连结OB，PF，若已知△CPF的面积，则一定能求出（ ）
A．△ABC的面积B．△BOC的面积
C．△COP的面积D．△BQO的面积
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，理解等底等高的三角形面积相等是解题的关键．
连接EP，过E点作EN⊥AC交AC于点N，过F点作FM⊥AC交AC于点M，易证△ANE≌△CMFAAS，可得FM=EN，进而得到S△CPF=S△CPE，由S△AEC=S△BEC，S△AEP=S△BEO，得到S△CPE=S△BOC，即得到结论．
【详解】解：连接EP，过E点作EN⊥AC交AC于点N，过F点作FM⊥AC交AC于点M，
由题意可知AB∥CD，AB=CD，
∴∠EAN=∠FCM，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=BE=CF=DF，
又∵∠ANE=∠FMC=90°，
∴△ANE≌△CMFAAS，
∴FM=EN，
∴S△CPF=S△CPE，
∵PQ∥AB，
∴PQ上的点到AB上的点距离相同，
∵AE=BE，
∴S△AEC=S△BEC，S△AEP=S△BEO，
∴S△CPE=S△BOC，
∴S△CPF=S△BOC，
∴已知△CPF的面积，则一定能求出△BOC的面积，
故选：B．
考点九：平行线折叠模型
43．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
【答案】（1）见解析；（2）50
【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键．
（1）任务一：连接QQ'，作QQ'的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边PK于点A，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线l3于点P'，则点P'为所求；
任务二：作出l4与PK所成夹角的角平分线，即为折痕l5；
（2）根据三等分线得到∠CPK=23∠α=50°，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）任务一：如图，点P'为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
（2）如图，
由题意可知l4，l5是∠α的三等分线，
∴∠CPK=23∠α=23×75°=50°，
∵l2∥PK，
∴∠CDE=∠CPk=50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°．
故答案为：50
44．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'恰好落在边DC上；将△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上．若∠C=α，则∠CB'E= ．（用含α的式子表示）
【答案】α3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAD=∠C=α，AB∥CD，由折叠性质可知，
∠DAB'=∠B'AE=∠BAE，∠ABE=∠AB'E，∠AB'D=∠AB'D'，故有∠DAB'=∠B'AE=∠BAE=α3，根据平行线的性质得∠AB'D=∠BAB'=2α3，∠ABE=180−α，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=α，AB∥CD，
由折叠性质可知，∠DAB'=∠B'AE=∠BAE，∠ABE=∠AB'E，∠AB'D=∠AB'D'，
∵∠DAB'+∠B'AE+∠BAE=∠BAD=α，
∴∠DAB'=∠B'AE=∠BAE=α3，
∵AB∥CD，
∴∠AB'D=∠BAB'=2α3，∠ABE=180°−α，
∴∠ABE=∠AB'E=180°−α，
∴∠CB'E=180°−2α3−180°−α=α3，
故答案为：α3．
45．（2025·河北邯郸·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边AB∥CD，翻折角∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．55°C．45°D．30°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先根据折叠的性质得∠4=∠1=60°,∠3=∠2，再结合平行线的性质得∠3+∠2=∠5=60°，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵折叠，
∴∠4=∠1=60°,∠3=∠2，
则∠5=180°−∠1−∠4=60°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠2=∠5=60°，
即∠3=∠2=30°，
故选：D．
46．（2025·广西来宾·一模）如图1，点O、P分别在长方形纸片ABCD的BC、AD边上，OP与BC所夹的锐角∠1=50°，将纸片沿OP折叠得到图2，点C落到点C'处；点Q在AD边上，沿OQ进行第二次折叠得到图3，点B的对称点B'恰好落在OC'上，则QO与QP的夹角∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
过点O作EF∥QP，则∠2=∠FOQ，由折叠得，∠FOQ=∠QOC'=∠2，∠C'OP=∠POE=∠1=50°，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图3，过点O作EF∥QP，则∠2=∠FOQ，
由折叠得∠FOQ=∠QOC'=∠2，
由折叠可得，∠C'OP=∠POE=∠1=50°，
∴∠FOQ=12180°−50°−50°=40°，
故选：C．
47．（2026莲都区一模）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论：①∠EGD2=∠FGD2；②2∠EFC+∠EGB=360°；③∠FHD2=3∠EFB；④若∠FEG=32°，则∠EFC2=84°．
上述正确的结论是
【答案】②③④
【分析】以现有条件无法证明∠EGD2=∠FGD2，由此即可判断结论①；由矩形的性质可得AD∥BC，由轴对称的性质可得GD1∥FC1，∠EFC=∠EFC1，由两直线平行同位角相等可得∠D1GF=∠C1FC，由对顶角相等可得∠D1GF=∠EGB，进而可得∠C1FC=∠EGB，由周角的定义可得∠EFC+∠EFC1+∠C1FC=360°，由此即可判断结论②；由两直线平行内错角相等可得∠DEF=∠GFE，由轴对称的性质可得∠DEF=∠GEF，进而可得∠GEF=∠GFE，由三角形外角的性质可得∠D1GF=∠GEF+∠GFE=2∠GFE，由轴对称的性质可得∠D2GF=∠D1GF=2∠GFE，由三角形外角的性质可得∠FHD2=∠D2GF+∠GFE=3∠GFE，由此即可判断结论③；∠FEG=32°即∠GEF=32°，则∠GFE=∠GEF=32°，进而可得∠D2GF=2∠GFE=64°，由轴对称的性质可得GD2∥FC2，由两直线平行同位角相等可得∠C2FC=∠D2GF=64°，进而可得∠EFC2=180°−∠GFE−∠C2FC=84°，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：以现有条件无法证明∠EGD2=∠FGD2，
故结论①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠得到四边形C1D1GF，
∴GD1∥FC1，∠EFC=∠EFC1，
∴∠D1GF=∠C1FC，
又∵∠D1GF=∠EGB，
∴∠C1FC=∠EGB，
∵∠EFC+∠EFC1+∠C1FC=360°，
∴∠EFC+∠EFC+∠EGB=360°，
即：2∠EFC+∠EGB=360°，
故结论②正确；
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠GFE，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠得到四边形C1D1GF，
∴∠DEF=∠GEF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴∠D1GF=∠GEF+∠GFE=2∠GFE，
∵将四边形C1D1GF沿FG折叠得到四边形C2D2GF，
∴∠D2GF=∠D1GF=2∠GFE，
∴∠FHD2=∠D2GF+∠GFE
=2∠GFE+∠GFE
=3∠GFE
=3∠EFB，
故结论③正确；
∵∠FEG=32°，即∠GEF=32°，
∴∠GFE=∠GEF=32°，
∴∠D2GF=2∠GFE=2×32°=64°，
∵GD1∥FC1，将四边形C1D1GF沿FG折叠得到四边形C2D2GF，
∴GD2∥FC2，
∴∠C2FC=∠D2GF=64°，
∴∠EFC2=180°−∠GFE−∠C2FC
=180°−32°−64°
=84°，
故结论④正确；
综上，正确的结论有：②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，轴对称的性质，平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等），三角形外角的性质等知识点，熟练掌握矩形与折叠问题是解题的关键．
考点十：三角板拼接模型
48．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【答案】D
【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出∠A=∠ACE=30°，然后结合图形求解即可．
【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，AB∥CE，
∴∠A=∠ACE=30°．
∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°．
故选：D．
49．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）
A．5°B．15°C．25°D．35°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到∠DAE=∠BCA=45°，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=90°,∠B=45°，
∴∠ACB=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB=45°，
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE=60°，
∴∠ADE=15°；
故选：B．
50．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得BC∥DF,∠ACB=45°,∠EDF=30°，再根据平行线的性质得∠BCD=∠EDF=30°，再根据∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°可得答案．
【详解】解：如答图，
由题意，得BC∥DF,∠ACB=45°,∠EDF=30°，
∴∠BCD=∠EDF=30°，
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°，
∴30°+45°+∠ACE=180°，
∴∠ACE=105°，
∴∠1=105°．
故选：B．
51．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（∠A=30°，∠ABC=60°，∠D=∠BED=45°）三角尺ABC固定不动，将三角尺DBE绕点B转动．当DE∥BC时，∠ABE的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．75°或105°
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行线的性质等，分两种情况，运用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图①，当DE∥BC时，
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°．
如图②，
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠D=45°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=60°−45°=15°,
∵∠DBE=90°,
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=90°−15°=75°,
综上，∠ABE的度数为75°或105°，
故选：D．
52．（2024·山东聊城·三模）将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，点E在直线AC的上方，旋转三角尺BCE，当三角尺BCE有一条边与斜边AD平行时，∠ACE的度数为 ．
【答案】15°或60°或150°
【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分BE∥AD，BC∥AD，CE∥AD，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：①当BE∥AD时，如图：
则：∠1=∠D=60°，
∴∠DCE=180°−60°−45°=75°，
∴∠ACE=90°−75°=15°；
②当BC∥AD时，如图：
则：∠BCD=∠D=60°，
∴∠ACE=∠BCD=90°−∠ECD=60°；
③当CE∥AD时：
则：∠DCE=∠D=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=150°；
综上：∠ACE的度数为15°或60°或150°；
故答案为：15°或60°或150°．
考点十一：直尺与三角板拼接模型综合
53．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，进一步即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=50°，∠2=∠4
∴∠4=180°−60°−∠3=70°，
∴∠2=∠4=70°，
故选：C
54．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得∠3=∠1=50°，∠5=90°，∠2=∠4，
∴∠2=∠4=180°−90°−∠3=90°−50°=40°，
故选：B．
55．（2025·河南周口·二模）如图，将直尺叠放在正六边形ABCDEF上，六边形顶点B，E都在直尺的边上，且AB，DE分别与直尺的上下边交于点P和Q，若∠FEP=38°，则∠PBQ的度数为（ ）
A．75°B．82°C．88°D．94°
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线的性质，四边形的内角和，根据正六边形的性质求出∠A=∠F=120°，再求出∠APE=82°，根据平行线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=∠F=6−2×180°6=120°，
∵∠FEP=38°，
∴∠APE=360°−∠A−∠F−∠FEP=360°−120°−120°−38°=82°，
由题意可知，PE∥BQ，
∴∠PBQ=∠APE=82°，
故选：B．
56．（2025·贵州黔东南·二模）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D=60°，∠ABC=15°，则∠1的度数为 度．
【答案】45
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得∠ABD=75°，进而由平行线的性质得∠DFE=∠ABD=75°，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵∠DBC=90°，∠ABC=15°，
∴∠ABD=90°−∠ABC=90°−15°=75°，
∵EF∥AB，
∴∠DFE=∠ABD=75°，
∴∠1=180°−∠D−∠DFE=180°−60°−75°=45°，
故答案为：45．
57．（2025·广东深圳·二模）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70°，请你帮忙算一算，∠3的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质计算∠BEN=40°，由平行线的性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，即可得解．
【详解】解：过点C作CG∥MN
∵∠B=30°，∠1=70°，
∴∠BEN=40°，
∵DK∥MN，
∴CG∥MN∥DK,
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°
又∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠ACG=90°−∠BCG=50°，
故选：D．
58．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1=40°,∠2=120°，则∠3+∠4=（ ）
A．120°B．140°C．160°D．170°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别∠1与∠3、∠2与∠4的同位角关系，进而计算两角之和．
先根据空气中光线平行的条件，结合∠1与∠3是同位角，利用平行线性质得出∠3=∠1；再根据水中光线平行的条件，结合∠2与∠4是同位角，得出∠4=∠2；最后将已知角度代入，计算∠3+∠4的结果，匹配选项即可．
【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且∠1与∠3为同位角，∠2与∠4为同位角，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠1=40°，∠2=120°，
∴∠3=40°，∠4=120°,
∴∠3+∠4=40°+120°=160°.
故选：C．
59．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，D在AB上，AD=0.6m，D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= m．
【答案】653
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键．
依据题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N，则∠MED+∠MDE=90°，然后求出∠MED=∠BDG=90°−∠DGB=30°，故DM=12AD=0.3m，从而得到DE=2DM=0.6m，可得DF=3DE=1.8m，再证明四边形DGNF是矩形，故GN=DF=1.8m，最后在Rt△GNH中，进而可得GH=GNsin60°，故计算可以得解．
【详解】解：由题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N，
∴∠MED+∠MDE=90°．
∵∠EDG=90°，
∴∠MDE+∠BDG=90°．
∴∠MED=∠BDG．
∵DG∥FH，
∴∠DGB=∠FHG=60°．
∴∠MED=∠BDG=90°−∠DGB=30°．
∵DF=3DE=3AE．
∴AE=DE，
∴DM=12AD=0.3m．
∴DE=2DM=0.6m．
∴DF=3DE=1.8m．
∵∠FDG=∠F=∠GNF=90°，
∴四边形DGNF是矩形．
∴GN=DF=1.8m．
在Rt△GNH中，
∵∠GHN=60°，
∴GH=GNsin60°=1.832=653m．
故答案为：653．
60．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACD=∠CDE是解题的关键．
由等腰直角三角形的性质得∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，由AB∥DE，得∠ACD=∠CDE，而∠1=20°，则20°+45°=∠2+45°，所以∠2=20°，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，∵ △DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F=∠DHC=90°，
∴DF=EF，DH=CH，
∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°，
∵AB∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∴∠1+∠HDC=∠2+∠FDE，
∵∠1=20°，
∴20°+45°=∠2+45°，
∴∠2=20°，
故选：B．
61．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB=35°，AB=9，则CD的长等于（ ）
A．5πB．4πC．72πD．74π
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接AC，先根据平行线的性质求出∠CBD=∠ADB=35°，∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=70°，根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠CBD=∠ADB=35°，
根据作图可知：AB=AC=AD，
∴∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°，
∵l1∥l2，
∴∠DAC=∠ACB=70°，
∴CD的长为70π×9180=72π．
故选：C．
62．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当∠1=37°时，∠2= °．
【答案】97
【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
正六边形内角和为：6−2×180°=720°，
∴ ∠ABC=16×720°=120°，
∵ ∠1=37°，
∴ ∠3=∠ABC−∠1=120°−37°=83°，
∵ l1∥l2，
∴ ∠3+∠2=180°，
∴ ∠2=180°−∠3=97°，
故答案为：97．
63．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4．若点P在运动中始终满足3S0=S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
A．2B．32πC．4D．2π
【答案】A
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，由正方形的性质得AC=6，AG=CH=1,求出GE=1，GH=4，求出S0=4，根据图形得S1+S2+S3=S0+S4，根据3S0=S1+S2+S3+S4得S4=4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ=2，得到DQ=1，从而求出MN=2．
【详解】解：如图，
在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=32，∠BAC=∠BCA=45°，
∴AC=AD2+CD2=322+322=6；
∵EG⊥AC,FH⊥AC，
∴∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°，
∴∠AEG=∠HFC=45°，
∴△AGE,△HFC为等腰直角三角形，
∴AG=GE,HC=HF,
∵AE=CF=2，
∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1，BE=BF，GH=AC−AG−CH=4，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠GEF=45°，
∴∠GEF=180°−45°−45°=90°，
又∠EGH=∠FHG=90°，
∴四边形GEFH是矩形，
∴S0=EG×GH=1×4=4，
又S1+S2+S3=S0+S4
而3S0=S1+S2+S3+S4，
∴S4=4，
∵动点P在△ACD内部及边界上运动，
∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，
取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，则DO=12AC=3，
∵S4=12GH×OQ=4，
∴OQ=2，
∴DQ=OD−OQ=3−2=1，
∴MN=2，即点P组成的图形长度为2，
故选：A．
64．（2025·北京·中考真题）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 °．
【答案】43
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设FI与OG交于点K，先由三角形内角和定理求出∠OKF=43°，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，设FI与OG交于点K，
∵∠DOB=∠FOB=23.5°，
∴∠KOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
在△OFK中，∠FOK+∠OFK+∠OKF=180°，∠OFK=90°，
∴∠OKF=43°，
∵FH∥OG，
∴∠IFH=∠OKF=43°，
故答案为：43．
65．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122∘，∠BON=90∘，则入射角∠AON的度数为（ ）
A．22°B．32°C．35°D．122°
【答案】B
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出∠CBO=∠BOA=122°，结合图形即可求解．
【详解】解：∵CB∥OA
∴∠CBO=∠BOA=122°，
∵∠BON=90∘，
∴∠AON=122°−90°=32°，
故选：B．
66．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=（ ）
A．70°B．100°C．110°D．130°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，结合题意，即可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=70°，
∴∠BAD= 110°，
故选：C．
67．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线CF∥DE，∠ACB=90°，∠A=30°．若∠1=18°．则∠2等于（ ）
A．42°B．38°C．36°D．30°
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出∠GCD=180°−∠ACB−∠1=72°，然后由平行线的性质得到∠CDE=∠GCD=72°，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图所示，
∵∠ACB=90°，∠1=18°
∴∠GCD=180°−∠ACB−∠1=72°
∵CF∥DE
∴∠CDE=∠GCD=72°
∵∠A=30°
∴∠2=∠CDE−∠A=42°．
故选：A．
68．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα= ．
【答案】49
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长AN，交直线BC于点E，设DN=xcm，则CN=CD−DN=9−xcm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN=∠AEF=α，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得：AD=BC=CD=9cm,∠D=90°,AD∥BC,AN∥FG，
设DN=xcm，则CN=CD−DN=9−xcm，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为9−xcm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，
∴9×99−x+12×9×9x=9×9×7，
解得x=4，
即DN=4cm，
∵AN∥FG，
∴∠AEF=∠F=α，
∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠AEF=α，
∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49，
故答案为：49．
69．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．216°B．180°C．144°D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出∠A=∠E=108°，再根据四边形的内角和是360度求出∠AMN+∠ENM，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠A=∠E=3×180°5=108°，
∴∠AMN+∠ENM=360°−108°×2=144°，
∵∠AMN=∠1,∠ENM=∠2，
∴∠1+∠2=144°；
故选：C.
70．（2025·贵州·模拟预测）一酒精消毒瓶如图①，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图②，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．
(1)当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图③）．求BD旋转的角度；
(2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】(1)BD旋转的角度为36°
(2)点D到直线EF的距离为7.3cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可求出∠D'BE=72°，从而求出∠DBD'=36°；
（2）过点D作DG⊥BD'，垂足为G，过点E作EH⊥BD'，垂足为H，分别在Rt△BDG和Rt△BHE中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EH的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵BD'∥EF，∠BEF=108°，
∴∠D'BE=180°−∠BEF=72°，
∵∠DBE=108°，
∴∠DBD'=∠DBE−∠D'BE=108°−72°=36°，
答：BD旋转的角度为36°；
（2）如图③，过点D作DG⊥BD'，垂足为G，过点E作EH⊥BD'，垂足为H，
在Rt△BDG中，∠DBG=36°，
∴DG=BDsin36°≈6×0.59=3.54cm，
在Rt△BHE中，∠EBH=72°，
∴EH=BEsin72°≈4×0.95=3.80cm，
∴DG+EH=3.54+3.80≈7.3cm，
∴点D到直线EF的距离为7.3cm．
71．（2025·江西·二模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知AC∥BG， ∠A=36°,PF=PD,∠BGH=∠FHG,FH=30cm，底座的高MN=3.7cm．
(1)求 ∠F和 ∠QBG的度数；
(2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin36°≈0.588，sin72°≈0.951，sin81°≈0.988，cs36°≈0.809，cs72°≈0.309，cs81°≈0.156）
【答案】(1)∠F=54°,∠QBG=72°
(2)约为33.3厘米
【分析】（1）根据正五角星的特征和∠A=36°，结合等腰三角形和三角形内角和定理得出∠EPD=∠APB=∠AQB=72°，根据AC∥BG，得出∠QBG=∠AQB=72°，根据PF=PD，得出∠F=∠PDF=180°−∠EPD2=54°．
（2）如图，过点F作FI⊥MH垂足为I，根据（1）中角度和四边形内角和求出∠BGH=99°，则∠FHI=180°−∠FHG=81°，在Rt△FHI中，解直角三角形求出FI，再根据奖杯的总高度=FI+MN，求解即可．
【详解】（1）解：∵正五角星的各个顶角都相等，各条边都相等，∠A=36°，
∴∠EPD=∠APB=∠AQB=180°−36°2=72°，
又∵AC∥BG，PF=PD，
∴∠QBG=∠AQB=72°,∠F=180°−∠EPD2=54°．
（2）解：如图，过点F作FI⊥MH垂足为I，
∵∠EFD=54°,∠FBG=∠QBG+36°=108°,∠BGH=∠FHG，
∴∠BGH=∠FHG=360°−108°−54°÷2=99°，
∴∠FHI=180°−∠FHG=81°，
在Rt△FHI中，sin∠FHI=sin81°=FIFH，FH=30cm，
∴FI=30sin81°≈29.64，
∵MN=3.7cm，
∴奖杯的总高度=FI+MN=29.64+3.7≈33.3，
答：奖杯的总高度约为33.3cm．
【点睛】该题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确理解题意，掌握以上知识点．
72．（2025·河北唐山·三模）如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母．
测量 如图2，已知活动扳手的钳口MN∥PQ，正六边形螺母的两个顶点A，D分别在MN，PQ上，经测量，已知正六边形螺母的边长为10mm，∠PDE=15°．
（1）求∠MAF的度数；
操作 如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得AB，DE所在直线分别与直线MN，PQ重合．
探究 （2）经上述操作后，求钳口MN和PQ之间的距离减少了多少（结果保留整数）？
（参考数据：sin15°取0.26，cs15°取0.97，2取1.41，3取1.73）
【答案】（1）45°；（2）钳口MN和PQ之间的距离减少了2mm．
【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接AD，由螺丝帽是正六边形得每个外角的度数，再得出每个内角的度数，然后求出∠ADP=75°，最后根据平行线的性质即可；
（2）过点A作AG⊥PQ于点G，连接AE，求得∠AED=90°，得到∠EAD=30°，求出AD，AE，再求出∠DAG=15°，解直角三角形求出AG，即可求解．
【详解】解：（1）连接AD，如图：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BAF=∠CDE=6−2×180°6=120°，
根据对称性，AD平分∠BAF和∠CDE，
∴∠ADE=∠FAD=60°，
∴∠ADP=∠ADE+∠PDE=60°+15°=75°，
∵MN∥PQ，
∴∠MAD=180°−∠ADP=180°−75°=105°，
∴∠MAF=∠MAD−∠FAD=105°−60°=45°；
（2）过点A作AG⊥PQ于点G，连接AE，如图：
∵∠AFE=120°，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=30°，
∴∠AED=∠FED−∠FEA=120°−30°=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，∠EAD=90°−∠ADE=30°，
∴AD=DEsin30°=20，
AE=DEtan30°=103，
由（1）可知，∠ADP=75°，
在Rt△ADG中，∠DAG=90°−∠ADP=90°−75°=15°，
AG=AD⋅cs∠DAG=AD⋅cs15°=20×0.97=19.4，
由题意可知，MN和PQ之间的距离由AG的长变成AE的长，
∴AG−AE=19.4−103=19.4−17.3≈2mm，
即经上述操作后，钳口MN和PQ之间的距离减少了2mm．
73．（2025·湖南怀化·二模）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中∠ABC=90°，∠DEB=30°，∠ACB=45°．
(1)观察猜想：将图1中的三角尺DEB绕B逆时针的方向旋转α至如图2的位置，使得BE∥AC，DE交AB于点F，则α的度数为_____；
(2)操作探究：如图2所示，在（1）的条件下，已知BC=8，BE=12，求此时线段AF的长度；
(3)深化拓展：将图1中的三角尺DEB绕点B逆时针的方向旋转至如图3的位置（EC⊥AC），线段BE与AC交于点G，点C在线段DE上，求GBGC的值．
【答案】(1)45°
(2)8−66+62
(3)3+1
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，平行线的性质；
（1）根据平行线的性质可得∠ABE=∠A=45°，进而可得α=∠DBF=45°；
（2）过点F作FH⊥BE于点H，设BH=FH=x，则HE=3x，根据BE=12，求得x，进而求得BF，根据AB−BF，即可求解；
（3）过点B作BH⊥AC，则△HBC是等腰直角三角形，设CG=a,GH=b，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质表示出HB，根据HB=HC=a+b，HB=GB2−HG2=3b，得出a=3−1b，进而求比值，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，∠ACB=45°
∴∠A=∠ACB=45°
∵BE∥AC，
∴∠ABE=∠A=45°
∴α=∠DBF=90°−45°=45°，
故答案为：45°．
（2）解：如图，过点F作FH⊥BE于点H，
∵∠DEB=30°，∠DBE=90°
∴EH=FHtanE=FHtan30°=3FH
∵∠EBF=45°
∴BH=FH，BF=2BH
∵BC=8，BE=12，
∴AB=8，
设BH=FH=x，则HE=3x，
∴x+3x=12，
解得：x=63−6，
∴BF=2×63−6=66−62，
∴AF=AB−BF=8−66+62，
（3）解：如图，过点B作BH⊥AC，
∵AC⊥ED
∴BH∥ED
∵△ABC是等腰直角三角形，BH⊥AB，
∴AB=AC，∠A=∠ACB=45°，△HBC是等腰直角三角形，
设CG=a,GH=b
∴HB=HC=a+b
∵∠E=30°，BH∥ED
∴∠HBG=∠E=30°
∴GB=2HG=2b
∴HB=GB2−HG2=3b
∴a+b=3b
∴a=3−1b
∴GBGC=2ba=2b3−1b=3+1
74．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD=154°，∠CDE=63°．
(1)填空：∠1= °，∠2= °；
(2)已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°=0.44，cs26°=0.90，sin37°=0.60，cs37°=0.80）
【答案】(1)64；53；
(2)40cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）过点C作CN⊥ME，根据平行线的判定和性质求角度即可；
（2）过点D作DH⊥CN，过点E作EG⊥DH，利用矩形的判定得出四边形EGHN为矩形，四边形CAMN为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CN⊥ME，
∵AC垂直于AF，
∴CN∥AM，
∴∠ACN=90°，
∵AF与水平线l平行，
∴CN∥l，
∴∠1=∠DCN=∠BCD−∠ACN=154°−90°=64°，
∴∠2=180°−∠1−∠CDE=180°−63°−64°=53°，
故答案为：64；53；
（2）解：过点D作DH⊥CN，过点E作EG⊥DH，如图所示：
∴四边形EGHN为矩形，
同理得：四边形CAMN为矩形，
∴MN=AC=AB+BC=12+26=38cm，
∵EM为50cm，
∴GH=EN=EM−MN=50−38=12cm，
∵GE∥CN∥AF，
∴GE∥l，
∴DG⊥l，
∵DE为30cm，∠2=53°，
∴∠EDG=90°−53°=37°，
∴DG=DE⋅cs∠EDG=24cm，
∴DH=DG+GH=24+12=36cm，
∵∠1=64°，
∴∠CDH=90°−64°=26°，
∴DC=DHcs∠CDH=40cm．
刷考点 精准巩固，扫清盲区
提能力 聚焦过程，优化策略
测综合 跨界融合，挑战创新
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
方法指导如图，当射线OC在∠AOB的内部或外部，OE平分∠BOC,OF平分∠AOC时，总有∠EOF=12∠AOB．
∠AOB+∠AOC≤180∘∠AOB+∠BOC≤180∘
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
调查方式
测量，查看说明书
测量图示
已知地面MN、桌面AE均为水平面，DP∥MN
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
平行+角平分线→等腰三角形
解｜题｜技｜巧
解｜题｜技｜巧
①折叠前后对应角，对应边相等.
②折叠不改变原先的平行关系.
③以折线为对称轴.
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作：
任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．
→
折叠使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q'，P'，m交l3于M，如图③④．
→
保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．
→
将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．
→
将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5．则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如用⑦⑧．
解决问题
（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'；
任务二：在图⑥中作出折痕l5．
（2）若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是__________°．
解｜题｜技｜巧
根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值
解｜题｜技｜巧
直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.