2026中考数学高频考点一轮复习：相交线与平行线（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：相交线与平行线（试题含解析），共36页。
A．97°B．105°C．108°D．111°
2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（ ）
A．34°或94°B．43°或133°C．34°或113°D．43°或94°
4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
A．52°B．60°C．68°D．112°
5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．70°B．80°C．110°D．150°
7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（ ）
A．∠A＝∠3B．∠A+∠C＝180°
C．∠1＝∠2D．∠1＝∠C
8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．40°C．60°D．不能确定
9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（ ）
A．34°B．56°C．22°D．36°
10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（ ）
A．160°B．161°C．162°D．151°
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ °时，DE∥AB．
12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为 ．
13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM=43∠OMN．
（1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝ ；
（2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝ ．
14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝ °．
15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，∠CED的度数为 ；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO．
17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF．
（1）求证：AC∥EF．
（2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数．
（3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系．
19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD（ ）．
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（ ）．
∴12∠ABC=12∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
20．（2025春•扬州）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接ME、NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CNE之间的数量关系，并说明理由．
【实际运用】
（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝75°，这时展角∠ABC＝ ．
【深入探索】
（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线MF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间t秒（0≤t≤10）的值．
中考数学一轮复习 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•青秀区）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．97°B．105°C．108°D．111°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE的度数．
【解答】解：如图：延长AE到H，由于纸条是长方形，
∴EH∥GF，
∴∠1＝∠EFG，
由题意可得：∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EFG，
又∵∠DEF＝24°，
∴∠2＝∠EFG＝24°，∠FGD＝∠2+∠EFG＝24°+24°＝48°．
∵∠GFC＝180°﹣48°＝132°，
∴∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝132°﹣24°＝108°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键．
2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】D
【分析】①根据角平分线定义设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ，则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝β+θ，根据∠EFC+∠EFD＝180°得β+θ＝90°，则∠HFM＝90°，据此可对结论①进行判断；
②过点E作EK∥AB，则EK∥AB∥CD，进而得∠KEF＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣2α，则∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝2β﹣2α，继而得∠FEG+∠AGE＝2β，再根据∠EFC＝2β可对结论②进行判断；
③过点H作HT∥AB，则HT∥AB∥CD，进而得∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β，则∠GHF＝β﹣α，由②可知∠FEG＝2β﹣2α，据此可对结论③进行判断；
④过点M作MN∥AB，则AB∥MN∥CD，进而得∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ，则∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ，再根据∠BGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ，∠BGE﹣∠EFD＝∠M得α+θ＝60°，则∠HMF＝60°，根据①可知∠HFM＝90°，则∠H＝30°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵GH平分∠AGE，FH平分∠EFC，FM平分∠EFD，
设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ，
则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝∠EFH+∠EFM＝β+θ，
∵点F在直线CD上，
∴∠EFC+∠EFD＝180°，
∴2β+2θ＝180°，
∴β+θ＝90°，
∴∠HFM＝β+θ＝90°，
即HF⊥MF，
故结论①正确，符合题意；
②过点E作EK∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴EK∥AB∥CD，
∴∠KEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α，
∴∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝180°﹣2α﹣（180°﹣2β）＝2β﹣2α，
∴∠FEG+∠AGE＝2β﹣2α+2α＝2β，
又∵∠EFC＝2β，
∴∠EFC＝∠FEG+∠AGE，
∴结论②正确，符合题意；
③过点H作HT∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴HT∥AB∥CD，
∴∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β，
∴∠GHF＝∠THF﹣∠THG＝β﹣α，
由②可知：∠FEG＝2β﹣2α，
∴∠FEG＝2∠GHF，
故结论③正确，符合题意；
④过点M作MN∥AB，如图3所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ，
∴∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ，
∵∠BGE＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ，
又∵∠BGE﹣∠EFD＝∠M，
∴180°﹣2α﹣2θ＝α+θ，
∴α+θ＝60°，
∴∠HMF＝α+θ＝60°，
由①可知：∠HFM＝90°，
∴∠H＝180°﹣（∠HFM+∠HMF）＝180°﹣（90°+60°）＝30°，
故结论④不正确，不符合题意．
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义是解决问题的关键．
3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（ ）
A．34°或94°B．43°或133°C．34°或113°D．43°或94°
【考点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】当PK在AD上方时，延长MN、KH，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当PK在AD下方时，延长MN、HK，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可．
【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN，KH，二线交于点Q，
∵长方形纸片ABCD，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠K＝90°，∠AEF＝∠NEF，
∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF，
∵MN∥PK，
∴∠Q+∠K＝180°，
∴∠Q＝90°，
∴∠Q+∠ENQ＝180°，
∴EN∥QK，
∴∠NEH＝∠QHD，
∵∠KHD＝86°，
∴∠QHD＝94°，
∴∠NEH＝94°，
∴∠EFC=∠AEF=∠NEF=180°-∠NEH2=43°，
当PK在AD下方时，延长MN，HK，二线交于点T，
∵长方形纸片ABCD，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠HKP＝90°，∠AEF＝∠NEF，
∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF，
∵MN∥PK，
∴∠T＝∠TKP＝90°，
∴∠T+∠ENT＝180°，
∴EN∥TK，
∴∠NEH＝∠KHD，
∵∠KHD＝86°，
∴∠NEH＝86°，
∴∠EFC=∠AEF=∠NEF=180°-∠NEH2=47°，
故选：D．
【点评】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
A．52°B．60°C．68°D．112°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数．
【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°，
∴∠ABC＝∠BCD＝68°，
∵∠BAC＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，
∵AM与CB平行，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠EFD＝∠AEF＝50°，再根据∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF＝50°，
∴∠EFD＝∠AEF＝50°（两直线平行，内错角相等），
∵∠EFG＝30°，
∴∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG＝50°﹣30°＝20°，
综上所述，只有选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．70°B．80°C．110°D．150°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB∥CD，∠DEF＝110°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得答案，
【解答】解：由条件可知∠A＝∠DEF＝110°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（ ）
A．∠A＝∠3B．∠A+∠C＝180°
C．∠1＝∠2D．∠1＝∠C
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：根据平行线的判定定理逐项分析判断如下：
A、添加∠A＝∠3，则AM∥BF，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；
B、添加∠A+∠C＝180°，则AM∥CD，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；
C、添加∠1＝∠2，则BF∥CE，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；
D、添加∠1＝∠C，则AC∥DM，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．40°C．60°D．不能确定
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意得到∠AOC＝90°，由此得到∠AOF＝40°，根据对顶角相等即可求解．
【解答】解：由 条件可得∠AOC＝90°，即∠AOF+∠1＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣∠1＝40°，
∴∠2＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，理解图示，掌握几何中角度的计算是关键．
9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（ ）
A．34°B．56°C．22°D．36°
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质和角平分线的概念得到∠ABH，即可得到∠AHB的值．
【解答】解：∵AD∥BC，∠BAD＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣112°＝68°，∠AHB＝∠CBH，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH=12∠ABC=12×68°＝34°，
∴∠AHB＝∠CBH＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线的性质是解题的关键．
10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（ ）
A．160°B．161°C．162°D．151°
【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据垂直定义可得：∠EOG＝∠DOF＝90°，再根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD＝38°，然后利用角平分线的定义可得：∠DOE＝19°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵FO⊥DO，GO⊥EO，
∴∠EOG＝∠DOF＝90°，
∵∠AOC＝38°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∵OE为∠DOB的平分线，
∴∠DOE=12∠BOD＝19°，
∴∠FOG＝∠EOD+∠DOF﹣∠DOE＝90°+90°﹣19°＝161°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角、根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30或150 °时，DE∥AB．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】30或150．
【分析】当DE在AB的左下方时，∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB；当DE在AB的右上方时，当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB，求出∠BAD＝150°，即可得到答案．
【解答】解：如图，当DE在AB的左下方时，
∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB；
如图，当DE在AB的右上方时，
当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB，
∵∠D＝30°，
∴∠BAD＝150°，
∴当∠BAD＝30°或150°时，DE∥AB．
故答案为：30或150．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论．
12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为 45° ．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】45°．
【分析】设∠MEC＝α，用含α的代数式表示出∠CEG＝∠NEG＝45°﹣α，再由平行线得出∠CEG＝∠NGE，进而即可得证．
【解答】解：∠MEG＝45°，理由如下：
如图，设∠MEC＝α，
∵EM平分∠BEN，∠BEC＝90°，
∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α，
∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α，
∵CE FG，
∴∠CEG＝∠NGE，
∵∠NEG＝∠NGE，
∴∠CEG=∠NEG=12∠CEN=45°-α，
∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+45°﹣α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键
13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM=43∠OMN．
（1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝ 69° ；
（2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝ 62° ．
【考点】平行线的性质；垂线；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）69°；
（2）62°．
【分析】（1）根据平角定义求得∠FAM＝138°，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）延长NM交AE于P，根据平行线的性质求得∠MPA＝90°，利用三角形内角和定理求得∠PMA＝48°，从而求得∠NMI＝42°，根据角平分线的定义得∠OMN=12∠NMI=21°，由∠ABM=43∠OMN求得∠ABM=43∠OMN=28°，当MQ最短时，则 MQ⊥AB，则∠AQB＝90°，即可由三角形内角和定理求解．
【解答】解：（1）∵∠EAM＝42°，
∴∠FAM＝180°﹣∠EAM＝180°﹣42°＝138°，
∵AB是∠FAM的平分线，
∴∠FAB=12∠FAM=12×138°=69°；
故答案为：69°；
（2）如图，延长NM交AE于P，
∵MN⊥GH，
∴∠MNB＝90°，
∵EF∥GH，
∴∠MPA+∠MNB＝180°，
∴∠MPA＝90°，∠EAM＝42°，∠PMA＝48°，
∵MI⊥AM，
∴∠AMI＝90°，
∴∠NMI＝180°﹣∠PMA﹣∠AMI＝180°﹣48°﹣90°＝42°，
∵MO平分∠IMN，
∴∠OMN=12∠NMI=21°，∠ABM=43∠OMN，
∴∠ABM=43∠OMN=43×21°=28°，
当MQ最短时，则MQ⊥AB，
∴∠MQB＝90°，
∴∠BMQ＝180°﹣∠MQB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
故答案为：62°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，与角平分线有关的角的运算，垂线段最短，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，角平分的定义，三角形内角和定理是解题的关键．
14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝ 107.5 °．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】107.5．
【分析】根据垂直和角平分线的定义，对顶角相等得到∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOF＝72.5°，由∠COF＝∠AOC+∠AOF即可求解．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°＝∠BOD+∠BOE，
∵∠BOE＝55°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOD＝180°﹣∠BOD＝145°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=12∠AOD=72.5°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝107.5°，
故答案为：107.5．
【点评】本题考查了垂直的定义，角平分的定义，角度和差的计算，理解图示，掌握角度的和差计算是关键．
15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是 50° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】50°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°，
∴80°+∠D+∠D＝180°，
解得∠D＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，∠CED的度数为 135° ；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO．
【考点】平行线的判定；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）135°；（2）见详解．
【分析】（1）根据已知得∠DCO+∠CDO＝90°，∠DCE=12∠DCO∠CDE=12∠CDO进而得出∠DCE+∠CDE=45°再根据三角形内角和定理可得答案；
（2）根据角平分线定义得∠DCE=12∠DCO．∠EDF=12∠CDO进而得∠DCE+∠EDF=45°，再根据三角形外角的性质得∠CFO=∠EDF+45°，然后结合已知可得∠EDF＝∠GED，则答案可证；
【解答】（1）解：∵∠AOB＝90°，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCO+∠CDO＝90°，∠DCE=12∠DCO，∠CDE=12∠CDO，
∴∠DCE+∠CDE=12(∠DCO+∠CDO)=12×90°=45°，
∴∠CED＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝135°；
故答案为：135°；
（2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCE=12∠DCO，∠EDF=12∠CDO．
∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠DCE+∠EDF＝45°，
∵∠CFO＝∠DCF+∠CDO＝∠DCF+2∠EDF＝∠EDF+45°，
∴∠EDF＝∠CFO﹣45°．
∵∠CFO﹣∠GED＝45°，
∴∠GED＝∠CFO﹣45°，
∴∠EDF＝∠GED，
∴GE∥DO．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．
17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；垂线．
【专题】整式；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）90°+α；
（3）∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM＝∠ABC＝140°，再由平行线的性质得∠DCM＝∠EDC＝110°，由∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM可求得；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH=12∠ABC，∠EFG=12∠CFD可得∠FGQ=12∠ABC-12∠CFD=12(∠ABC-∠CFD)，结合（2）即可求解．
【解答】解：（1）过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠BCM＝∠ABC＝140°，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠DCM＝∠EDC＝110°，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝140°﹣110°＝30°；
（2）∠ABC﹣α＝90°，理由：过点C作CN∥AB，如图，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥DE，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+α；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ．
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG=12∠CFD．∠FGQ=12∠ABC-12∠CFD=12(∠ABC-∠CFD)，
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ=12×90°=45°，即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF．
（1）求证：AC∥EF．
（2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数．
（3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）70°；
（3）∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG．
【分析】（1）利用AB∥CD得角的关系，结合∠C＝∠AEF，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定AC∥EF．
（2）先由AB∥CD和∠C度数求∠CAE，再依据角平分线得∠GAE，结合∠AEF与∠GEF求∠AEG，最后用三角形内角和算∠AGE；或作GQ∥AC，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出∠AGE．
（3）作GQ∥AC，根据AC∥EF得GQ∥EF，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点G在F左侧、右侧（PG与EF有交点、无交点）三种情况，推导∠CPG、∠PGE、∠GEF 的关系．
【解答】解：（1）方法一：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAE＝180°，
∵∠C＝∠AEF，
∴∠CAE+∠AEF＝180°，
∴AC∥EF；
方法二：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠MAE，
∵∠C＝∠AEF，
∴∠MAE＝∠AEF，
∴AC∥EF；
（2）方法一：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∵PG平分∠CAE，
∴∠CAG=∠GAE=12∠CAB=12×120°=60°，
∵∠AEF＝∠C＝60°，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝60°﹣10°＝50°，
∴在△AGE中，∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝180°﹣60°﹣50°＝70°；
方法二：过点G作GQ∥AC，
∵AC∥EF，
∴GQ∥EF，
∴∠CAG＝∠AGQ，∠QGE＝∠GEF＝10°，
∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∵PG平分∠CAE，
∴∠CAG=12∠CAB=12×120°=60°，
∴∠AGE＝∠AGQ+∠QGE＝∠CAG+∠GEF＝60°+10°＝70°；
（3）过点G作GQ∥AC，
∵AC∥EF，
∴GQ∥EF，
∴∠CPG＝∠PGQ，∠QGE＝∠GEF，
当点G在点F左侧时，
∠PGE＝∠PGQ+∠QGE＝∠CPG+∠GEF；
当点G在点F右侧，且PG与EF有交点时，
∠PGE＝∠PGQ﹣∠EGQ＝∠CPG﹣∠GEF；
当点G在点F右侧，且PG与EF无交点时，
∠PGE＝∠EGQ﹣∠PGQ＝∠GEF﹣∠CPG；
综上：∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究．
19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD（ 角平分线的定义 ）．
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴12∠ABC=12∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 等式的性质 ）．
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】①角平分线的定义②两直线平行，内错角相等．
③等式的性质④内错角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定即可得出AB∥CD．
【解答】证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD（角平分线的定义）
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等 ）．
∴12∠ABC=12∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质 ）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ）．
【点评】本题考查的是平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
20．（2025春•扬州）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接ME、NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CNE之间的数量关系，并说明理由．
【实际运用】
（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝75°，这时展角∠ABC＝ 165° ．
【深入探索】
（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线MF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间t秒（0≤t≤10）的值．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠MEN＝∠AME+∠CNE，理由见解答；
（2）165°；
（3）运动时间t秒为3或9．
【分析】（1）如图，过E点作EF∥AB，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图：延长BC，FE相交于点P，过P作PQ∥AB，易得AB∥GH∥PQ则∠QPF＝∠EFH＝75°，∠ABC+∠BPQ＝180°，由垂直的定义可得∠BPF＝90°，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答；
（3）将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）∠MEN＝∠AME+∠CNE，理由如下：
如图，过E点作EF∥|AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝∠AME+∠CNE．
（2）如图：延长BC，FE相交于点P，过P作PQ∥AB，
∵AB∥GH，
∴AB∥GH∥PQ，
∴∠QPF＝∠EFH＝75°，∠ABC+∠BPQ＝180°，
∵BC⊥EF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠BPQ＝90°﹣∠QPF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BPQ＝180°﹣15°＝165°；
故答案为：165°；
（3）将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，
根据题意得，∠DME1＝10°t，∠DNF＝25°t，
∴∠FNE1＝∠DNF﹣∠DME1＝15°t，
由题意可得：∠FNE1＝45°，
∴15°t＝45°，
解得：t＝3；
根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝25°t﹣180°，
由题意可得：∠M1NE＝45°，
∴∠CNE1+∠M1NE＝∠DNM1，
∴25°t﹣180°+45°＝10°t，
解得：t＝9；
根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝360°﹣25°t，
由题意可得：∠N1NE1＝45°，
∴∠N1NE＝∠DNN1﹣∠DNE1，
∴45°＝180°﹣10°t﹣（360°﹣25°t），
解得：t＝15＞10（不符合题意）；
综上所述，运动时间t秒为3或9．
【点评】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．