山西省阳泉市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷含解析（word版）

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（考试时长：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共40分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ）
A. B. C. D.
2. 若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列中，，，则（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
4. “”是“直线和直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（ ）
A B. C. D.
6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）
A. B. C. D.
7. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 当时，方程可以表示的曲线有（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（ ）
A. 曲线一定过原点
B. 曲线一定关于坐标轴对称
C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点
D. 曲线上存在点使得的面积大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12. 已知直线与圆相交于，两点，则______.
13. 甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？
14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且在处的切线方程是．
（1）求实数，的值；
（2）求函数单调区间和极值．
16. 已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18. 如图，抛物线（）上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，（）是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程；
（3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，连接，，求证：.
19. 已知函数，其中且.
（1）当时，证明：；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：对任意的且，都有：.