山西阳泉2023−2024学年高一下册期末教学质量监测数学试卷[附解析]

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这是一份山西阳泉2023−2024学年高一下册期末教学质量监测数学试卷[附解析]，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量，且，则（）
A．1B．C．D．0
2．复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）
A．与互为对立事件B．与互斥
C．D．与相等
4．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（）
A．B．C．D．
5．已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（）
A．80B．C．160D．
二、多选题
7．给出下列说法，其中正确的是（）
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20
C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
8．如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（）
A．线段
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5
三、填空题
9．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是．
10．若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为．
11．如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为 .
12．在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．
四、解答题
13．如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的平面角的正切值．
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求B；
（2）若，且，求的面积的最大值．
15．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题意知，所以.
故选D
2．【正确答案】C
【详解】由题意，所以，
所以z在复平面内对应的点为，它在第三象限.
故选C.
3．【正确答案】C
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误；
对于C，，C正确；
对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误．
故选C
4．【正确答案】C
【详解】解：
.
故选C.
5．【正确答案】A
【详解】A：若，，则，故A正确；
B：若，则与可能平行或相交，故B错误；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误.
故选A.
6．【正确答案】D
【分析】根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以.
故选D.
【思路导引】解三角形应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
7．【正确答案】ACD
【分析】对于A，求得极差、中位数即可判断；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据方差的定义可得，从而可判断；对于D，根据平均数的计算公式即可判断.
【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A正确；
对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错误；
对于C，由方差，
可得，即此组数据众数唯一，C正确；
对于D，，
，D正确.
故选ACD.
8．【正确答案】ABD
【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高
对于A，在等腰梯形中，，A正确；
对于B，圆台的表面积，B正确；
对于C，圆台的体积，C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，
而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，
在△中，，斜边上的高为，即与弧相离，
所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.

故选ABD
9．【正确答案】
【详解】因为，
所以这组样本数据的第60百分位数是.
10．【正确答案】
【详解】因为，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
11．【正确答案】
【详解】解：，且，
故，
∴.
故答案为.
12．【正确答案】
【详解】由已知做出正三棱柱，则，
设点分别为正，正的中心，连接，则，
连接并延长交于于点，则，，
设点为中点，连接CO，
则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，
因为点为正的中心，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以，
则正三棱柱外接球半径，
所以该球的表面积为.
13．【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由题意知，，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，得，
又平面，
所以平面，由平面，
得，
所以为二面角的平面角，
又平面，平面，得，
在中，，
所以，
即二面角的平面角的正切值为.
14．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1），
由正弦定理得，
即，
，
，又，
所以，即，
又，所以；
（2），
得，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
即的面积的最大值为.
15．【正确答案】(1)岁；
(2)；
(3)10.
【分析】(1)由频率分布直方图的平均数算法可得；
(2)根据古典型概念公式可得；
(3)根据分层抽样平均数和方差公式可得.
【详解】(1)设这人的平均年龄为，则
(2)由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，
所以.
(3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.
据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差为10.