2023年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  与的值相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，是半圆的直径，，在半圆上若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若关于的一元二次方程为常数在的范围内有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  的相反数是______ ，的倒数是______ ．

8.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

9.  某新型感冒病毒的直径约为米将用科学记数法表示为______ ．

10.  计算的结果是______ ．

11.  若是反比例函数的图象上的点，则的值为______ ．

12.  设，是关于的方程的两个根，且，则 ______ ．

13.  在平面直角坐标系中，点的坐标是将绕着点逆时针旋转得到，则点的坐标是______ ．

14.  如图，是的直径，弦，垂足为若，，则的半径为______ ．

15.  如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处若，，则的长为______ ．

16.  如图，将绕点旋转至，使得，，共线若，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：．

18.  本小题分
化简并求值：，其中．

19.  本小题分
某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．

这四周西红柿销售单价的众数为______ ，黄瓜销售单价的中位数为______ ；
分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．

20.  本小题分
一个不透明的袋子中，装有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
搅匀后从中任意摸出个球是红球的概率为______ ；
搅匀后从中任意摸出个球，求个都是红球的概率．

21.  本小题分
如图，在▱中，，位于，上，，分别平分，．
求证：四边形是平行四边形；
当满足条件______ 时，四边形是矩形．

22.  本小题分
已知，试说明．

23.  本小题分
如图，为了测量悬停在空中的两架无人机，之间的距离，数学兴趣小组在地面选定两个相距米的观测点，在观测点测得，的仰角均为，在观测点测得的仰角为，的仰角为求，之间的距离参考数据：，，

24.  本小题分
如图，为外一点，用两种不同的方法过点作直线交，于点，，使得要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明

25.  本小题分
，两地相距，甲、乙两车从地驶往地，甲车出发后，乙车以的速度出发，追上甲车后，甲车的速度变为原来的倍设甲车出发的时间为单位：，甲、乙两车离地的距离为，单位：图中的线段表示与之间的函数关系．
点的坐标为______ ；
若两车同时到达地，求乙车追上甲车前与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
若甲车在乙车到达地后的内到达，直接写出乙车追上甲车所用时间的范围．

26.  本小题分
如图，内接于，，是上一点过点作，交于点．
求证：；
若，，．
求的长；
的长为______ ．

27.  本小题分
【积累经验】：
如图，在中，，垂足为矩形的顶点，分别位于，上，，位于上设，．
Ⅰ当，，设，，则 ______ 用含有的代数式表示．
Ⅱ设矩形的面积为，求的最大值用含有、的代数式表示．
【问题解决】：
如图，在四边形中，，，，现从中画一个面积最大的矩形，要求矩形的一边落在上，直接写出最大矩形的面积与的关系式及对应的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
A.；
B.；
C.．
D.．
与的值相等的是．
故选：．
将原式计算得到结果，即可作出判断．
本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，

是圆的直径，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
故选：．
先用直径所对的圆周角是直角求出，再用圆的内接四边形对角互补，求出即可．
此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的关键是圆的内接四边形的对角互补的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故选项A、、结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程化为一般式为，
根据题意得，
解得，
解方程得，，
方程在的范围内有实数根，
或，
解得，
解得，
取值范围为．
故选：．
先把方程化为一般式，则根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意得或，然后分别解两不等式，从而得到取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】  

【解析】解：的相反数是，的倒数是．
故答案为：，．
乘积是的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，相反数，关键是掌握倒数，相反数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质可知，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
 

9.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先算乘法和化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是反比例函数的图象上的点，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得，进一步求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，知，则，
将其代入关于的方程，得．
解得．
故答案是：．
根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴，过点作轴，交于，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
≌，
的坐标是，
，
点坐标为
故答案为：．
过点作轴，过点作轴，交于，根据旋转的性质可知：，而与都是的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么，，由此可得出点坐标．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
设的半径为，则．
弦，
；
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：．
如图，作辅助线；设的半径为，运用勾股定理列出，求出即可解决问题．
主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形为矩形，
，，
点是的中点，，
，
根据折叠可得，，，，，
，
即为等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，由线段中点定义可得，由折叠可知，，，，则为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到，再利用平角的定义和三角形内角和定理推出，在中，，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，利用折叠的性质和等腰三角形的性质推理得出是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

将绕点旋转至，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，，
，，，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为，黄瓜销售单价的中位数为：；
故答案为：，；
西红柿销量的平均数，
黄瓜销量的平均数，
西红柿销量的方差，
黄瓜销量的方差；
答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．
分别根据众数和中位数的定义解答即可；
根据方差的公式计算即可；
根据统计图数据解答即可．
此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：搅匀后从中任意摸出个球是红球的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中个都是红球的结果有种，
个都是红球的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中个都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：当满足时，四边形是矩形，理由如下：
，平分，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故答案为：．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；
根据等腰三角形的性质可得，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，
又，，
，
，
又，
． 

【解析】利用作差法，结合完全平方公式可得，再根据偶次方的非负数性质可得答案．
本题考查了不等式的性质以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，过点作，垂足分别为、，

设为，
米，
；
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
设为，
，
，
在中，，

在中，，
，
，
，
，，
，
，
、之间的距离约为． 

【解析】过点作，过点作，垂足分别为、，设为，则；然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后设为，则，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连接，作，交于点，再作交于点，则过的直线为，直线交于点，
所以直线为所作；
如图，连接，作，交于点，再在上截取，则过的直线为，直线交于点，
所以直线为所作．
 

【解析】如图，连接，作，交于点，再作交于点，于是可证明四边形为平行四边形，连接交于点，则；
如图，连接，作，交于点，再在上截取，则可证明四边形为平行四边形，连接交于点，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

25.【答案】 

【解析】解：由题意，乙从到的时间，
，
．
故答案为：；
，
设的函数表达式为．
将代入得．
．
两车同时到达，即甲车后来的速度为 ；
甲车的出发速度为．
乙车追上甲车前的函数表达式为．
，解得．
自变量的取值范围．
设相遇前甲的速度为，
则有，
解得：，
又，
．
求出乙从到的时间，可得结论；
先根据题意求出相遇后甲车的速度，再求出解析式；
根据题意列出方程组，再求解．
本题考查了一次函数的应用，理解题意、还原实际场景是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
利用平行线的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用等角对等边即可解答；
利用的结论以及等式的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：Ⅰ四边形是矩形，
，
∽，
，
，
．
故答案为：；
Ⅱ设，则，
∽，
，即，
，
，
当时，的最大值为．
如图，延长，交于点，当矩形的一个顶点与点重合时，矩形的面积有最大值，

，
，，
，
，
，
，，，
，，
由勾股定理得：，
设，，
分两种情况：
当时，与共线时，矩形的面积最大，
，
∽，
，
即，
，
；
当时，
当时，；
当时，；
当时，．
Ⅰ通过证明∽，可得，即可求解；
Ⅱ由二次函数的性质可求解；
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，三角形的中位线定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．