浙江省宁波市慈溪市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间 120 分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上.
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知点 是点 在坐标平面 内的投影，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线 的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
4. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.
根据光路可逆性，若一条与 轴平行的光线经过点 后，射到抛物线 ： 上，经过两次反
射后从点 射出，已知光线从点 到点 经过的总路程为 9，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
5. 已知函数 在区间 大致图象如右图所示，则 的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成
角的正弦值为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知点 关于直线 对称的点在圆 上，则 （
）
A. B. C. D.
8. 已知数列 满足 ， ，其中 等于 的个位数，则 （ ）
A. 20342 B. 20346 C. 20358 D. 20374
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A.
B. 当 时，曲线 在点 处的切线方程为
C. 当 时，函数 有最大值
D. 当函数 在区间 上单调递减时，
10. 已知公差不为零 两个等差数列 和 ，记它们的前 项和分别为 ， ，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 ，且 时，数列 的前 14 项均是正数
C. 当 时，
D. 当 时，
11. 已知曲线 的方程为： ，倾斜角为 的直线经过点 ，且与
恰有两个交点 M，N（点 在 轴上方），记过点 和 的直线倾斜角为 ，则（ ）
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A.
B.
C. 当平面 沿直线 折起，使二面角 为直二面角时，点 到平面 的最大距离为
1
D. 当平面 沿直线 折起，使 平面 时，点 到平面 的距离为
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆 与圆 相切，则 __________
13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 __________.（其中 是自
然对数的底数）
14. 已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，若过 的直线与 交于 ， 两点，且
， ，则双曲线的离心率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ， ，圆 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若直线 被圆 截得的弦长为 8，求 的值.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 满足 ， ，
， .
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（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. 已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若对任意 使得 恒成立，求 的最小值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ， 是 上的点.
（1）求 的方程；
（2）设 为 的左、右顶点，过右焦点 的直线 与 交于 ， 两点（不与点 重合）.
（i）求 的最大值；
（ii）记 斜率分别为 ，证明： 为定值.
19 已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 时， ，求 取值范围；
（3）若 时，方程 的两个不同实数根为 ， ，证明： .