浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷 含解析

这是一份浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷 含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分.
考试时间 120 分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 l 过点 和 ，则 l 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两点坐标可求得其斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系可得结果.
【详解】易知直线 l 斜率为 ，
设 l 的倾斜角为 ，则 ，由 ，可得 .
故选：D
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可.
【详解】易知 ，
所以 .
故选：A.
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3. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 51 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出公比后由等比数列的前 项和公式得结论．
【详解】记公比为 ，则 ，即 ，所以 ，
从而 ，
故选：C．
4. 已知 ， ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 与 的向量坐标，再根据投影向量的公式 来计算.
【详解】已知 ， ， ， .
；
.
计算 和 ,
.
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根据投影向量公式 ，则投影向量为 .
故选：A.
5. 已知圆 ，圆 ，若圆 与圆 恰有三条公切线，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的标准方程为 ，则 ，可得 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与圆 恰有三条公切线，则两圆外切，且 ，
由题意可得 ，即 ，解得 .
故选：B.
6. 已知在棱长为 1 的正四面体 中， ， ，则直线 和 夹角的余弦值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，向量 、 、 表示 和 ，再利用数量积的运算律及夹角公式
计算可得.
【详解】设 ，因为 ， ，
所以 ，
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，
所以 ，
，
，
设向量 与 的夹角为 ，则
∴直线 和 夹角的余弦值为 ．
故选：D
7. 已知双曲线 的左焦点为 ，一条渐近线方程为 ，过 作这条
渐近线的垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直关系求得直线 的方程，解得 两点坐标即可求得比值.
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【详解】设左焦点为
根据题意可知 ，所以直线 的方程为 ，如下图所示：
联立 ，可得 ，
同理联立 ，可得 ，
因此 .
故选：B
8. 已知斐波那契数列 满足 ， .卢卡斯数列 满足 ，
且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知确定 与 的关系后判断．
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【详解】由已知， ，
，因此 ，
所以 ，从而 ，
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ，则（ ）
A. 当 时，C 是半径为 的圆
B. 当 时，C 是焦点在 x 轴上的椭圆
C. 当 时，C 是焦点在 x 轴上的双曲线
D. 当 时，C 是两条直线
【答案】AC
【解析】
【分析】结合圆、椭圆、双曲线的方程特征逐项判断即可.
【详解】对于 A，当 时， 是半径为 的圆，A 正确；
对于 B，取 ， ，即 ，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，B 错误；
对于 C，当 时， 是焦点在 x 轴上的双曲线，C 正确；
对于 D，当 时， 是一条直线，D 错误.
故选：AC.
10. 已知数列 的前 n 项和为 ，若 ，且对任意 m， ，都有 ，则（ ）
A. B.
C. D. 数列 是递增数列
【答案】ABD
【解析】
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【分析】利用赋值法可计算得出 AB 正确，C 错误，可证明得出数列 是等差数列，求得 即可判
断 D 正确.
【详解】由 ，且 可得 ，即可得 A 正确；
易知 ，又 ，即 ，
因此 ，因此 B 正确；
易知 ，可得 C 错误；
令 可得 ，即 ，
所以可得数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列，可得 ，
因此 ，则 ，即数列 是递增数列，可知 D 正确.
故选：ABD
11. 如图，已知正方体 的棱长为 4，P，Q 分别是线段 ， 上的动点，M 是线段
的中点，且满足 ，过 作平面 ，使得 ，则（ ）
A. 当 时， 平面
B. 当 P 为线段 中点时，直线 到平面 的距离为
C. 直线 与平面 所成角的最大角的正弦值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
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【分析】根据已知构建空间直角坐标系 ，A 应用向量法判断 平面 是否成立，B 问题
化为求 到平面 的距离，应用向量法求点面距，C、D 设 且 ， 且
，根据已知有 在圆 的四分之一圆弧上，向量法求线面角正弦值的含参表
达式、向量数量积的坐标表示得含参表达式，应用三角换元求最值.
【详解】构建如下图示的空间直角坐标系 ，
A： ，则 ， 且 ，又 ，
所以 ，可得 ，则 ，此时 ，
又 ，则 ， ，
，
显然 、 ，则 平面 不成立，错；
B： 且 ， ，又 ，则 ，可得 ，
所以 ，则 ，而 ，
若 是 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，而 ，
显然直线 到平面 的距离，即为 到平面 的距离 ，对；
C：令 且 ， 且 ， ，
则 ，可得 ，且 ，
由 ， ，若 是面 的一个法向量，
所以 ，令 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 ，
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要使夹角最大，即 最大，而 在圆 的四分之一圆弧上，
令 且 ，则 ，
所以 或 时，最大 ，
此时最大正弦值为 ，对；
D：由 C 分析 ，则 ，
所以 ，
令 且 ，
则 且 ，
所以 最小值为 ，对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：注意构建空间直角坐标系，利用向量法判断证明位
置关系、求点面距、线面角、坐标表示数量积，综合应用三角换元、圆的性质求最值.
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知点 和直线 ，则点 P 到 l 的距离为______.
【答案】3
【解析】
【分析】代入点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】易知点 P 到 l 的距离为 .
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故答案为：3
13. 已知数列 满足 ，若 ， ，则 的前 n 项积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由递推公式可得数列周期 ，从而根据周期性得出前 项积的最大值.
【详解】因为 ，所以 ，
两式相除得 ，即 ，故数列的周期 ,
由 ， ，可得 ，设 的前 项积为 ，
所以当 时， ，当 时, 取最大值为 .
当 时， ，当 时, 取最大值为 .
当 时， ，当 时, 取最大值 .
综上所述， 的前 n 项积的最大值为 .
故答案为：
14. 椭圆有如下结论：“过椭圆 上一点 作该椭圆的切线，切线方程为
.”设椭圆 的左、右焦点为 ， ，P 为椭圆上一点，过 P 的切
线 l 分别与坐标轴交于 M、N 两点，若 时， （O 为坐标原点）的面积取到最小值，
则 C 的离心率为______.
【答案】 .
【解析】
【分析】由切线方程求得与坐标轴的两交点坐标，利用基本不等式可得当 时面积
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取 得 最 小 值 ， 再 根 据 余 弦 定 理 计 算 可 得 ， 再 由 等 面 积 法 可 知
，可得 ，可求得离心率.
【详解】由题可知 满足 ，
切线 与两坐标轴交点为 ，如下图所示：
易知 的面积为 ，又 ，
即 ，因此 ，
当且仅当 示，即 时，等号成立；
又因为 ，
即 ，解得 ；
易知 的面积为 ，
又 ，
即可得 ，所以 ，
可得 ，所以 .
即 C 的离心率为 .
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故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用基本不等式求得面积最小时的交点坐标，再由余弦定理由三角形
面积公式计算得出 的关系式，可求得离心率.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 在 处的切线与直线 垂直，求 a.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案.
（2）根据斜率的关系列方程，化简求得 的值.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
由题意知， ，即 ，
所以 ，所以 或 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 平面 ， ，
， .
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（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理可得结论；
（2）建立空间直角坐标系并利用空间向量求得两平面的法向量，即可得出结论.
【小问 1 详解】
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，所以 ；
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，即 ；
又因 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， 平面 ， ，
建立以 A 为原点， ， ， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，如下图所示：
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则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个平面法向量 ，
则 ，即 ，所以取 ；
同理可得，平面 的一个法向量 ；
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知直线 ，圆 ，点 在 上，点 在 上.
（1）若一条光线沿着直线 从右上往左下射出，经 轴反射后，与 相切，求 ；
（2）若 ， ，求点 的坐标，使 有最小值，并求出这最小值.
【答案】（1）
（2） ，最小值等于 .
【解析】
【分析】（1）求出反射光线所在直线的方程，求出圆心到反射光线所在直线的距离，即为 的值；
（2）求出点 关于直线 的对称点 的坐标，数形结合可知，当点 、 为线段 与直线 、圆 的交
点时， 取最小值 ，联立直线 和直线 的方程，可求出点 的坐标，即可得出结论.
【小问 1 详解】
由题意知，入射光线与 轴交于点 ，反射光线的斜率为 ，
所以反射光线所在的直线方程为 ，
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因为圆心 ，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于 ，即 .
【小问 2 详解】
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 的最小值等于 ，
当且仅当点 、 为线段 与直线 、圆 的交点时， 取最小值，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
所以当点 时， 的最小值等于 .
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18. 已知抛物线 的焦点为 F，点 在 C 上，且 .
（1）求 C 的方程；
（2）若 M，N 是 C 上的两个不同动点（M 在 x 轴上方，N 在 x 轴下方），满足 .
（ⅰ）求证：直线 过定点 P；
（ⅱ）设直线 的斜率为 k，过点 P，且斜率为 的直线交 C 于 R，S 两点，求四边形 面积的最
小值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据焦半径公式可得 ，可求抛物线方程；
（2）（ⅰ）联立直线和抛物线方程利用韦达定理并结合向量数量积计算可证明直线 过定点 P；
（ⅱ）依题意联立直线和抛物线方程利用韦达定理求出四边形 面积的表达式，再结合基本不等式可
求得面积最值.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，所以抛物线 C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，显然 ，
且 ， ，易知 ，所以 ；
因为
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，
所以 或 （舍），所以直线 过定点 .
（ⅱ）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，如下图所
示：
由 得， ，则 ， ，
所以 ，
则 R，S 到直线 的距离和
因为直线 RS 的直线方程为 ，所以 ，
所以 ，
由 得， ，即 ， ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，则 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， .
19. 若数列 满足： （ ，且 ），则称数列 为“差增数列”；若对于差
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增数列 ，存在整数 k，同时满足以下两个条件：①对任意 ，都有 成立；②存在 ，
使得 成立，则称数列 为差增数列 的“下限数列”.
（1）已知数列 是差增数列，若 ，试写出项数为 5 的差增数列 ；
（2）已知等差数列 是公差为 d 的正项数列，其前 n 项和为 ，等比数列 是公比为 的
非常数数列，且 ；
（ⅰ）试判断数列 是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若 ，且 ， ， 成等比数列，则是否存在以数列 为“下限数列”的差增数列
？若存在，求 q 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ， ， ， ，
（2）（ⅰ）数列 为“差增数列”，理由见解析；（ⅱ）存在，4.
【解析】
【分析】（1）由“差增数列”的定义以及质数概念即可求得结果；
（2）（ⅰ）由等差数列通项公式以及前 n 项和公式得出 的表达式，再由“差增数列”的定义即可得出结论；
（ⅱ）依题意可得 ， ，根据“下限数列”和“差增数列”的定义对参数 进行分类讨
论，即可得出结果.
【小问 1 详解】
根据“差增数列”的定义可得 ， ， ， ， ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，则首项 ，公差 ，所以 ， ，
因为
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，
即 对任意 且 恒成立，
故数列 为“差增数列”.
（ⅱ）因为 ，则 ，且 ，
所以 ，所以 ，
假设存在以数列 为“下限数列”的差增数列 ，
则 ，而 ， ，所以 q 的可能取值为 2、4，
①若 ，则 ，若存在，则其下限数列 ，即 恒成立，
事实上，当 时， ，故 时不符合；
②若 ，则 ，所以
， ，
而 ，所以 对任意 恒成立，
所以数列 是差增数列，令 ，
则 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 符合，所以数列 的下限数列为 ；
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综上所述，存在以数列 为“下限数列”的差增数列 ，此时 q 的值为 4.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由“差增数列”的定义以及“下限数列”的定义，结合等差等比数列性质综
合研究即可求得结果.
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