山东菏泽市定陶区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份山东菏泽市定陶区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题（试卷+解析），共29页。试卷主要包含了请将答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
2．请将答案填写在答题卡上
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 已知，如果，那么的值是（ ）
A. B. 2360C. 23600D. 236
2. 用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（ ）
A. 0B. 2C. 4
D. 6
3. 已知，，则x2﹣x的值为（ ）
A. 0 或 1B. 0 或 2C. 0 或 6D. 0、2 或 6
4. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（ ）
A 66B. 126C. 54或44D. 126或66
5. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A. 六折B. 七折C. 八折D. 九折
7. 如图，A，B是直线l同侧的两点，作点A关于直线l的对称点，连接．若点A，B到直线l的距离分别为2和3，则线段与之间的数量关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 5
9. 在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A 不变B. 变小C. 变大D. 先变大后变小
10. 如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为______．
12. 关于的不等式组的解集为，则___________．
13. 如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ____________________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________．
15. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即→→→→→→→……，按此规律，记为第1个点，则第个点的坐标为_______．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知不等式组．
（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）在（1）的条件下化简．
17.
（1）已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
（2）已知是的小数部分，求的算术平方根．
18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是______．
（2）点B关于原点对称点C的坐标是______；点A关于x轴对称的点D的坐标是______．
（3）的面积是______．
（4）如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______．
19. 若、、是三边，且、满足关系式，是不等式组的最大整数解，判断的形状．
20. 据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问：
（1）海港C会不会受到台风的影响？
（2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．共有几种购买方案？
22. 已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数．
23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明．
【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）．
（3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长．
【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
八年级数学期末样题
注意事项：1．本试题满分120分，考试时间120分钟
2．请将答案填写在答题卡上
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 已知，如果，那么的值是（ ）
A. B. 2360C. 23600D. 236
【答案】B
【解析】
【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值．
【详解】解：∵，，
∴是将的小数点向右移动1位得到的，
根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位，
∴将的小数点向右移动2位，可得．
2. 用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（ ）
A. 0B. 2C. 4
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果．
【详解】解：由题意可得，−22＝4−4＝0，
故选：A．
本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确二次根式的副功能键是立方根．
3. 已知，，则x2﹣x的值为（ ）
A. 0 或 1B. 0 或 2C. 0 或 6D. 0、2 或 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得出，再根据因式分解求得x的值，然后代入要求的式子进行计算即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴，
，
，
，
，，，
或或，
∴或2，
故选：B．
本题考查求代数式的值，利用等式的性质对等式进行变形，用因式分解求方程的解是解答本题的关键．
4. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（ ）
A. 66B. 126C. 54或44D. 126或66
【答案】D
【解析】
【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可．
详解】解：由题意知，分两种情况求解：
①如图1，在内部
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴；
②如图2，在外部
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴；
综上所述，的面积为66或126；
故选D．
本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况．
5. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方程组得到，结合，即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
由①+②，得：，
∵，
∴，
∴；
故选：A．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到．
6. 某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A. 六折B. 七折C. 八折D. 九折
【答案】B
【解析】
【分析】设最多可打x折，根据题意，得，求整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键．
【详解】解：设最多可打x折，
根据题意，得，
解得．
故最多打7折，
故选B．
7. 如图，A，B是直线l同侧的两点，作点A关于直线l的对称点，连接．若点A，B到直线l的距离分别为2和3，则线段与之间的数量关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，连接，作交的平行线于，作，垂足为，则，易得，在，勾股定理求出，在中，得到，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，作交的平行线于，作，垂足为．则：，
∵点A关于直线l的对称点为点，点A，B到直线l的距离分别为2和3，
∴，
在中，，即，
∵在中，
又∵，
∴． 即，
∴．
故选B．
8. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作：
∵ ，
∴ ，可得第一次操作结果；
∵，，
∴ ，可得第二次操作结果；
∵，
∴，可得第三次操作结果；
∵，可得第四次操作结果；
因此对2026只需进行4次操作后变为2．
9. 在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A. 不变B. 变小C. 变大D. 先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论：①垂直平分；②的周长为8；③的长是；④的面积为．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论．
【详解】解：平分
，
，
，
又，
，
，，
垂直平分，①结论正确；
在中，，，，
，
，
，，
，
的周长，②结论正确；
设，则
在中，，
，
解得：，
的长是，③结论正确；
在中，，，，
，
和是等高三角形，
，
，④结论正确，
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为______．
【答案】等腰直角三角形
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键．
根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案．
【详解】解：，
且，
，，即，
，是直角三角形，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
12. 关于的不等式组的解集为，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组解集为，
∴，
解得：，
∴．
13. 如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ____________________．
【答案】，，或
【解析】
【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：，分三种情况：当时；当时；当时，分别讨论是解题的关键．
解：∵，，
∴，
分三种情况：
当时，若点P在的延长线上，如图：
+
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴；
当时，若点P在上，如图：

∵，，
∴；
当时，如图：

∵，
∴，
∴；
当时，如图：

∵，
∴；
综上所述：当是等腰三角形时，的度数是，，或，
故答案为：，，或．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：由折叠可知，，；
∵点，点，
∴，
则；
∵点，则，
∴；
设，则，
在中，，
即
解方程得：，即．
15. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即→→→→→→→……，按此规律，记为第1个点，则第个点的坐标为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了坐标规律的探究，根据题意得到3个一循环的坐标规律，用除以3得到具体位置即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵→→→→→→→…，
∴3个点为一组，每个的坐标为：，，，
∵，
∴第个点坐标为：，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知不等式组．
（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）在（1）的条件下化简．
【答案】（1），见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）分别解出每个一元一次不等式的解集，再将两个不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可；
（2）根据，先判断，再根据绝对值的性质解题即可化简解题．
【详解】解：（1）解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
解集表示在数轴上如下：
不等式组的解集为；
（2）由（1）知，
．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式（组）的解集、算术平方根的非负性、化简绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17.
（1）已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
（2）已知是的小数部分，求的算术平方根．
【答案】（1），；
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解；
（2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解
【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∵的立方根为2，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴整数部分是2，小数部分为，
∵是的小数部分，
∴，
∴，
∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2．
18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是______．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是______；点A关于x轴对称的点D的坐标是______．
（3）的面积是______．
（4）如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______．
【答案】（1）（-2,3）；
（2）（2,-3）；（0,-4）；
（3）8； （4）（2,0）或（-2,0）．
【解析】
【分析】（1）根据坐标的定义，判定即可；
（2）根据关于原点对称点的特点和关于x轴对称的点的坐标特点求解即可；
（3）用四边形PQCK的面积减去△ABP、△BCQ、△ACK的面积得到△ABC的面积；
（4）设点E的横坐标为xE，则点E到AD的距离为，根据三角形面积相等求出的值，根据x轴上点的特点得出点E的坐标即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
∵B与C关于原点对称，，
∴，
∵A与D关于x轴对称，，
∴；
【小问3详解】
如图所示：
；
【小问4详解】
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴或．
本题考查了坐标系中对称点的坐标确定，图形的面积计算，正确理解坐标的意义，适当添补图形是解题的关键．
19. 若、、是的三边，且、满足关系式，是不等式组的最大整数解，判断的形状．
【答案】是钝角三角形
【解析】
【分析】根据非负数的性质可得a，b的值，通过解不等式组确定c的值，进而即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为3，即，
∴，
∵，
∴，
∴是钝角三角形．
20. 据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问：
（1）海港C会不会受到台风的影响？
（2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
【答案】（1）受台风影响，理由见解析
（2）受台风影响的时间为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
小问1详解】
解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于点，
因为，，，,
所以是直角三角形．,
由三角形面积相等可得：，
即，
所以．
因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．
【小问2详解】
如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，

所以，因，
所以．
因为台风中心移动的速度为，
，
所以受台风影响的时间为．
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．共有几种购买方案？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元
（2）该停车场有3种购买方案
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等"列出分式方程，求解即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元且且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案．
【小问1详解】
解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，
根据题意得，
解得，
经检验是原方程的解，．
答：型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元；
【小问2详解】
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意，得：，
解得：．
∵为整数，
，
∴该停车场有3种购买方案．
22. 已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）DB2+DC2=DA2，证明见解析；（3）∠CDB=75°.
【解析】
【详解】【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得；
（2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ；
（3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数.
【详解】（1）∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ，
∴∠ABD=∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE；
（2）结论： DB2+DC2=DA2，
以BD为边作等边△BDE，连CE，
则BD=DE，∠BDE=60°，
由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE ，
又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°，
∴CD2+DE2=CE2，
∴DB2+DC2=DA2 ；
（3） 以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，
由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=13，
设DH=x，
在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2，

即，
在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2，
，
∴= ，
∴x=5 ， 即DH=5 ，
∴EH=5=DH，则∠EDH=45°，
∴∠CDB=180°—45°—60°=75°.
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，准确添加辅助线是解答本题的难点和关键.
23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，．试证明．
【知识运用】（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接写答案）．
（3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的长．
【知识迁移】（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】（1）见解析（2）25千米（3）6.3125千米（4）20．
【解析】
【分析】（1）利用梯形面积，直角三角形的面积等证明即可．
（2）连接，过点C作于点E，结合，得到矩形，结合千米，千米，千米，得到千米， 千米，千米，利用勾股定理解答即可．
（3）作的垂直平分线，交与点P，连接，则，设，则千米，由，根据勾股定理，得，解答即可．
（4）根据题意，令，，，设，则，根据勾股定理，得，
要求的最小值就转化为的和的最小值，于是延长到点F，使得，连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，过点F作交的延长线于点E，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接，
∵，，，．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
．
（2）解：连接，过点C作于点E，
∵，
∴矩形，
∴千米，千米，千米，
∴千米， 千米，千米，
∴（千米），
故答案为：25．
（3）解：作的垂直平分线，交与点P，连接，则，
设，则千米，
由，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
解得，
故的长为千米．
（4）解：根据题意，令，，，设，则，
根据勾股定理，得，
要求的最小值就转化为的和的最小值，
∴延长到点F，使得，
连接，交于点P，此时的点P位置就是使得和最小，
过点F作交的延长线于点E，
∴四边形矩形，
∴， ，
∴，
故的最小值为20，
故代数式的最小值为20．
本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，线段和最小的计算，线段垂直平分线的应用，熟练掌握勾股定理，线段和的最小计算，矩形的判定和性质是解题的关键．