江苏省海门市2025-2026学年高三上学期第二次调研测试数学试卷含解析（word版）

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x x=nn+1,n∈N,B=xx−14≤14. 则A∩B= ( )
A. 0,12 B. 12,23 C. 0,12,23 D. 12,23,34
【答案】A
【解析】
【分析】解绝对值不等式求出集合 B ,再由交集定义利用列举法即可求得结果.
【详解】 B=xx−14 ≤14=x −14≤x−14≤14=x 0≤x≤12 ,
则 A∩B 为集合 A 中满足 0≤x≤12 的元素,
又 A=x x=nn+1,n∈N ,
所以 n=0,1 时,集合 A 中包含元素 0,12 ,
则 A∩B=0,12 ,
故选: A
2. 已知 z1+i=2+i ，则在复平面内复数 z 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先由已知求得复数 z ,即可确定复数 z 对应的点所在象限.
【详解】由 z1+i=2+i 可得, z=2+i1+i=2+i1−i1+i1−i=3−i2=32−12i
则在复平面内复数 z 对应的点为 32,−12 ,位于第四象限
故选: D
3. 已知 a,b 是平面内的非零向量，则 “ a//b ” 是 “ a⋅b=ab ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积定义式, 分别验证充分性和必要性即可得出结论.
【详解】充分性: 设 a,b 的夹角为 θ∈0,π ,若 a//b ,则 θ=0 或 θ=π ,
当 θ=0 时, a⋅b=ab ,
当 θ=π 时, a⋅b=−ab ,
所以 a//b 不能推出 a⋅b=ab ,即充分性不成立;
必要性: 若 a⋅b=ab ,则 a⋅b=abcsθ=ab ,
因 a,b 是非零向量,则 a>0,b>0 ,即 csθ=1 ,
此时 θ=0,a,b 同向,满足 a//b ,
所以 a⋅b=ab 可以推出 a//b ,即必要性成立;
综上所述， a//b ”是“ a⋅b=ab ”的必要不充分条件，
故选: B
4. 若将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后，则( )
A. AB//CD B. AD//BC C. AB⊥CD D. AC⊥BD
【答案】D
【解析】
【分析】根据折起以后平行关系发生变化可判断 AB 错误,利用线面垂直判定定理可证明 AC⊥ 平面 BDE ,可得 D 正确,假设 C 选项中 AB⊥CD 成立,可得出 AD>AB ,这与 AD=AB 矛盾, 因此假设不成立, 即 C 错误.
【详解】取 AC 的中点为 E ,连接 BE,DE,BD ,如下图所示:

易知在正方形中 AC⊥BD ,折起后满足 BE⊥AC,DE⊥AC ,
又因为折成的是直二面角,即 ∠BED=π2 ,
因为平面 ADC∩ 平面 ABC=AC ,所以 BE⊥ 平面 ADC ,
又 DC⊂ 平面 ADC ,所以 BE⊥DC ,
对于 A ,若 AB//CD ,则 BE⊥AB ,显然这与 ∠ABE=π4 矛盾,即 A 错误;
同理可得 B 错误;
对于 D ,又因为 BE∩DE=E,BE,DE⊂ 平面 BDE ,
所以 AC⊥ 平面 BDE ,
又因为 BD⊂ 平面 BDE ,所以 AC⊥BD ,因此 D 正确;
对于 C ,假设 AB⊥CD 成立,
又因为 AB⊥BC ,且 BC∩CD=C,BC,CD⊂ 平面 BCD ,
所以 AB⊥ 平面 BCD ,
又 BD⊂ 平面 BCD ,所以 AB⊥BD ,
此时在 △ABD 中， ∠ABD=π2 ，则可知 AD 为斜边，因此 AD>AB ，
又因为折叠前后 AD,AB 长度不变,这与 AD=AB 矛盾,因此假设不成立,即 C 错误.
故选: D
5. 已知函数 y=lgax+ba>0,a≠1 的图象如图所示,则下列关系不可能成立的是( )

A. 1ab2 C. ab2b+12
【答案】C
【解析】
【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解.
【详解】由图可得, a>1,f1=b∈0,1 ,
则 1ab2 ，故 B 正确；
因为 ab>a0=1,baba ,故 C 错误;
当 a=2,b=12 时, 2a=4,2b+12=2 ,满足 2a>2b+12 ,故 D 可能成立;
故选: C.
6. 在所有棱长为 2 的直三棱柱密闭容器内(厚度忽略)放置一个最大的球，则球的表面积为( )
A. πB. 4π3 C. 3π9 D. 4π
【答案】B
【解析】
【分析】求出直三棱柱底面的内切圆半径, 并比较此时圆的直径与直三棱柱的高的大小, 求出能放置的最大的球的半径, 可得其表面积.
【详解】易知所有棱长为 2 的直三棱柱底面是边长为 2 的正三角形,
因为边长为 2 的正三角形的内切圆半径 r 满足 122+2+2r=12×2×2sinπ3=3 ,
解得 r=33 ;
因为球的直径要同时小于等于直三棱柱的高和底面内切圆的直径,
即 2r≤2 且 2r≤233 ,所以球的最大半径为 r=33 ,
则球的表面积为 S=4πr2=4π3 .
故选: B.
7. 已知定义在 R 上的奇函数 fx ,满足 ∀x∈R,fx+4−fx=f2 ,则( )
A. fx+1 一定是奇函数 B. fx+1 一定是偶函数
C. f2+x 一定是奇函数 D. f2−x 一定是偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法可得 f2=0 ,再由表达式变换可得 −f−x+2=fx+2 ,即可得 f2+x 一定是奇函数.
【详解】依题意可知 f−x=−fx ,
令 x=−2 ,由 ∀x∈R,fx+4−fx=f2 可得 f−2+4−f−2=f2 ,
即 f2−f−2=f2+f2=f2 ,因此 f2=0 ;
可得 fx+4−fx=0 ,也即 fx+4=fx ,
将 x 替换为 x−2 可得 fx−2+4=fx−2=fx+2 ,
所以 −f−x+2=fx+2 ,即 f2+x 一定是奇函数.
故选: C
8. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点为 F1−c,0,F2c,0c>0 ,若过 F1 且斜率为正的直线与圆 x2+y−c22=c24 相切,与双曲线在第一象限交于点 P ,且 PF2⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据 PF2⊥x 轴,求出 PF2 的长,设圆心为 M，∠MF1O=θ ,根据圆的性质可得 ∠PF1F2=2θ ,求出 tanθ 进而得到 tan2θ ,根据 tan2θ=PF2F1F2 列式,求解即可求出答案.
【详解】因为 PF2⊥x 轴,则点 P 的横坐标为 c ,
代入双曲线方程 c2a2−y2b2=1 ，
解得点 P 的纵坐标为 b2a (由题意 −b2a 舍去)，即 PF2=b2a ，
圆 x2+y−c22=c24 的圆心坐标为 0,c2 ,半径为 c2 ,则圆与 x 轴相切,
如图,设圆心为 M0,c2,∠MF1O=θ ,

根据圆的性质可得 ∠PF1F2=2∠MF1O=2θ ,
在 Rt△MF1O 中, tanθ=OMOF1=c2c=12 ,
则 tan2θ=2tanθ1−tan2θ=11−14=43 ,
在 Rt △PF1F2 中, tan2θ=PF2F1F2=b2a2c=43 ,所以 3b2=8ac ,
又 b2=c2−a2 ,则 3c2−8ac−3a2=0 ,
等式两边同时除以 a2 得 3⋅c2a2−8⋅ca−3=0 ,即 3e2−8e−3=0 ,
解得 e=3 或 −13 (舍去),
所以双曲线的离心率为 3 .
故选: D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若将函数 fx=cs2x 的图象向左平移 π6 个单位长度,得到函数 gx 的图象,则()
A. gx=cs2x+π6 B. gx 在 −π6,π6 上单调递减
C. gx 的图象关于 x=−π6 对称 D. gx 在 0,π2 上有 2 个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据余弦函数的图象变换性质, 结合余弦型函数的单调性和零点逐一判断即可.
【详解】A: 因为函数 fx=cs2x 的图象向左平移 π6 个单位长度,得到函数 gx 的图象,
所以 gx=fx+π6=cs2x+π6=cs2x+π3 ,因此本选项说法不正确;
B: x∈−π6,π6⇒2x+π3∈0,2π3⊆0,π ,
所以 gx 在 −π6,π6 上单调递减,因此本选项说法正确;
C: 因为 g−π6=cs2×−π6+π3=cs0=1 ,
所以 gx 的图象关于 x=−π6 对称,因此本选项说法正确;
D: gx=cs2x+π3=0⇒2x+π3=kπ+π2k∈Z⇒x=k2π+π12k∈Z ,
因为 x∈0,π2 ,所以令 k=0 ,所以 gx 在 0,π2 上有 1 个零点,
所以本选项说法不正确.
故选: BC
10. 已知数列 an 满足 a1=3,an+1n−ann+1=1nn+1n∈N∗ ,则( )
A. nan 是等差数列 B. ∀n∈N∗,an≤3
C. ∀n∈N∗,i=1nai−1ai+1−1=n+3n+1 D. ∀n∈N∗,i=1nai−1>2lnn+1
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A ,根据数列递推公式整理可得 n+1an+1−nan=1 ,即可判断; 对于 B ,由 A 可得即 an=n+2n ,求解范围即可; 对于 C ,将 an=n+2n 代入 i=1nai−1ai+1−1 计算即可; 对于 D ,由 ai−1=2i ,将问题转化为证明通项 2i≥2lni+1i ,再通过逐项求和求解.
【详解】由 an+1n−ann+1=1nn+1 ,可得 n+1an+1−nan=1 , 故数列 nan 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,故 A 正确,
∴nan=3+n−1=n+2 ,即 an=n+2n=1+2n≤3n∈N∗ ,故 B 正确,
∵an−1=2n,∴ai−1ai+1−1=2i⋅2i+1=41i−1i+1 ,
∴∀n∈N∗,i=1nai−1ai+1−1=411−12+12−13+⋯+1n−1n+1=41−1n+1=4nn+1 ,故 C 错误,
设 fx=x−1−lnxx>0 ,则 f′x=1−1x=x−1x ,
当 x∈0,1 时, f′x0 ,则 fx 在 1,+∞ 上单调递增,
∴fx≥f1=0 ,即 x−1≥lnx ,
∵x>0 ,用 x+1 代替 x ,则 x≥lnx+1 ,
再令 x=1ii∈N∗ ,可得 1i≥ln1i+1,∴2i≥2lni+1i ,
∵ai−1=2i ,则 ai−1>2lni+1i ,
∴i=1nai−1>2i=1nlni+1i=2ln21+ln32+⋯+lnn+1n=2lnn+1 ,故 D 正确.
故选: ABD.
11. 在平面直角坐标系 xOy 中, Pm,n 是曲线 C:x2=2xy+2 上任一点,则下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 C 关于原点对称
B. 任意 k≥12 ,直线 y=kx 与曲线 C 没有公共点
C. O 为坐标原点， OP≥2
D. 任意 t∈R,m−2t+n−3t≥43
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用 Pm,n 关于原点的对称点仍在曲线上判断 A ,联立直线方程和曲线方程后结合判别
式的符号判断 B ,用 m 表示 OP 后结合基本不等式可判断 C ,求出 m−2t+n−3t 的最小值后结合基本不等式判断 D.
【详解】对于选项 A: 对于任意点 Pm,n 在曲线 C 上,则 m2=2mn+2 ,
点 P 关于原点对称点坐标为 −m,−n ,代入曲线方程,
得 −m2=2−m−n+2 ,即 m2=2mn+2 ,与原方程一致,
所以曲线 C 关于原点对称,选项 A 正确;
对于选项 B:将 y=kx 代入曲线方程，可得 x2=2xkx+2 ，即 1−2kx2−2=0 ，
当 k=12 ,方程式变为 −2=0 ,无实根;
当 k>12,Δ=0−4×−2×1−2k=81−2k0 ,故 m2>m2−26m
而 m−2t+m2−22m−3t=−5t+m+m2−22m,t≤m2−26mt−m2−22m+m,m2−26mC ,即 2π3−C>C ,
所以 0