广东省揭阳市三校2025-2026学年高三下学期开学综合训练数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 命题：否定是（ ）
A. B. C. D.
2. 在二项式的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 11
3. 已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（ ）
A. 14B. －14C. 38D. －38
4. 已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（ ）
A. 2B. C. 4D. 8
5. 已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A. B. C. D.
6. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为，则该石凳的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，等边内有3个全等的小三角形，且，，则的面积为（ ）

A 7B. C. 14D.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 已知 为两条不同的直线，两个不同的平面，且，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 这组数据第百分位数是
B. 若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1
C. 若变量服从二项分布，则
D. 若变量服从正态分布，，则
11. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A. 为的一条对称轴B. 的最小正周期为
C. 的最大值为D. 关于点中心对称
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
12. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________．
13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则________.
14. 1202年，意大利数学家斐波那契（Lenard Fibnacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为________．
四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）若所有学生初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）．
附：若随机变量X服从正态分布，则，
，．
16. 已知函数,.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中,角、、的对边分别是、、,且满足,若方程恰有两个不同的解,求实数的取值范围.
17. 如图，在三棱锥中，，，，

（1）求，并说明异面直线与所成角的大小在棱长度增大时是怎样变化的．
（2）判断点在平面上的射影是否可能在直线上？说出你的结论并加以证明．
18 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：，．
19. 用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形中，，，，点在线段上，为的平分线，直线与平面垂直，垂足为.点，，记点的轨迹为曲线.

（1）说明：曲线为椭圆；
（2）建立适当坐标系，求曲线的方程；
（3）当四面体体积最大时，求平面与平面夹角的大小.