广东省揭阳市2025届高三下学期5月联考（三模）数学试卷（解析版）

这是一份广东省揭阳市2025届高三下学期5月联考（三模）数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数fx=2025tanx的最小正周期是（ ）
A．2πB．πC．π2D．π4
【答案】B
【解析】因为函数y=tanx的周期与y=tanx的最小正周期一致，均为π，
所以函数fx的最小正周期为π.
故选：B.
2．已知集合A=x|x-1>1，则∁RA∩N*=（ ）
A．1B．0,1,2C．1,2,3D．1,2
【答案】D
【解析】因为A=xx-1>1=xx2，
所以∁RA=x0≤x≤2，故∁RA∩N*=1,2.
故选：D.
3．已知向量a=1,3，b=-2,1，则csa,a-2b=（ ）
A．46565B．23535C．6565D．43535
【答案】A
【解析】由题意可得a-2b=5,1，故csa,a-2b=a⋅a-2ba⋅a-2b=1×5+3×110×26=46565.
故选：A.
4．“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4H1-Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米
【答案】B
【解析】由v2=4H1-Hv2可知v2-Hv4=4H，故H=v2v4+4≤v224v4=14，
当且仅当v2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：B.
5．下列函数是奇函数且在0,+∞上单调递增的为（ ）
A．y=1x3B．y=3xC．y=lgx+x2+1D．y=sinx
【答案】C
【解析】对于A，易知y=fx=1x3的定义域为xx≠0，关于原点对称，
又函数f-x=-1x3=-fx，所以y=1x3是奇函数，但在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，函数y=3x是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，y=tx=lgx+x2+1，因为x+x2+1>x+x≥0，
所以y=lgx+x2+1的定义域为R关于原点对称，
又t-x+tx=lg-x+x2+1+lgx+x2+1=lg1=0，
所以y=lgx+x2+1是奇函数，
又u=x+x2+1在0,+∞上单调递增，y=lgx为增函数，
所以fx=lgx+x2+1在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，函数y=sinx在0,+∞上不为增函数，故D错误.
故选：C.
6．若复数z满足z+1z+1=z+zz-z，则z-12=（ ）
A．12B．33C．1D．52
【答案】D
【解析】设z=a+bi，a,b∈R，则a+bi+1a-bi+1=2a2bi=abi，即a2-abi+a=abi-b2+bi，
整理得a2+a+b2-2ab+bi=0，故a2+a+b2=02a+1b=0，注意到b≠0，
则只能a=-12，故b2=-a2-a=14，
故z-12=a-122+b2=52.
故选：D.
7．若x4=a0+a11+x+a21-x2+a31+x3+a41-x4，则a0+4a2=（ ）
A．-15B．-2C．2D．15
【答案】A
【解析】显然仅有a41-x4有含x4的项，于是x4=a4⋅C4414-4⋅x4，解得a4=1.
代入x=-1，可得a0+4a2+16a4=1，于是a0+4a2=1-16a4=-15.
故选：A.
8．已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则OP的取值范围是（ ）
A．3-1,1B．22-2,1C．3-1,2D．22-2,2
【答案】B
【解析】设点Px,y，由题意可得x2+y2+x+y=2，
不妨令x2+y2=r2，取x=rcsθ，y=rsinθ，其中r≥0，θ∈0,π2，
则r+rcsθ+rsinθ=2，故OP=r=21+csθ+sinθ=21+2sinθ+π4，
由θ∈0,π2可知sinθ+π4∈22,1，故OP=21+2sinθ+π4∈22-2,1，OP的取值范围是22-2,1.
故选：B.
二、多选题
9．已知双曲线E：x218-y22=1，则（ ）
A．E的实轴长是虚轴长的9倍B．E的渐近线方程为y=±13x
C．E的焦距为4D．E的离心率为103
【答案】BD
【解析】对于A，由双曲线方程可得a=32,b=2,c=18+2=25，
故得E的实轴长是虚轴长的3倍，故A错误；
对于B，E：x218-y22=1的渐近线方程是y=±13x，故B正确；
对于C，E的焦距为2c=45，故C错误；
对于D，E的离心率为e=ca=2532=103，故D正确.
故选：BD.
10．已知甲组样本数据：x1，x2，x3，x1+x2+x33，乙组样本数据：x1，x2，x3，x4，x1+x2+x3+x44，其中x10的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线l交C于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足PM=MN，且PQ在MN上的投影数量为-5，则p的取值范围为 ．（平面内向量a在向量b方向上的投影数量为a⋅bb）
【答案】907,+∞
【解析】设点My122p,y1，Ny222p,y2，Px0,y0，
由题知Q-p2,0，则PQ=-p2-x0,-y0，-5=-p2-x0-2y05，
化简得x0+2y0=5-p2（*），
直线l的斜率为2，则y2-y1y222p-y122p=2⇒ y1+y2=p，
由PM=MN有y0=2y1-y2=3y1-pln3x.
（1）解：易知函数fx=xln3x的定义域为0,1∪1,+∞，
且f'x=ln3x-3ln2xln6x=lnx-3ln4x，
可知当x∈0,1时，f'x0，即fx在e3,+∞上单调递增，
故fx有极小值fe3=e327，无极大值.
（2）证明：当x∈0,1时，有27ex-4>0>ln3x恒成立.
当x>1时，构造函数gx=ex-1-x，则g'x=ex-1-1>0，
故gx在1,+∞上单调递增，
于是gx>g1=0，即ex-1>x，于是此时27ex-4>27e3x，
由（1）可知xln3x≥e327，故27e3x≥ln3x，故27ex-4>ln3x.
综上所述，当x∈0,1∪1,+∞时，27ex-4>ln3x.
17．记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1，Sn=n2an.
（1）求a3；
（2）求an的通项公式；
（3）证明：SnS1；
当n≥2时，Snn≥2>Sn.
综上：Sn0，有csAcsB>0，则tanAtanB=3.
①C=π2时，sinCsinAsinB=1sinAsinB=2sin2A≥2，A=B=π4时取等号，
②tanAtanB=3时，
sinCsinAsinB=sinA+BsinAsinB=sinAcsB+sinBcsAsinAsinB
=1tanA+1tanB≥2tanAtanB=233，
A=B=C=π3时取等号，
因为2>233，则sinCsinAsinB的最小值是233，
综上，sinCsinAsinB有最小值233，无最大值.
（3）解：①C=π2时，2A∈π3,π2，
则S=12⋅6sinA⋅6sinB=18sinAcsA=9sin2A∈932,9.
②tanAtanB=3时，
在△ABC中，由正弦定理有asinA=bsinB=6sinC，则a=6sinAsinC，b=6sinBsinC，
则S=12⋅6sinAsinC⋅6sinBsinCsinC=18sinAsinBsinC=18sinAsinBsinAcsB+sinBcsA=54tanA+tanB，
由函数fx=x+3x在33,1上单调递减，有tanA+tanB=tanA+3tanA∈4,1033，
∴S∈2735,272
综上，△ABC的面积S的取值范围是932,9∪2735,272.
19．如图，三棱锥A-BCD中，点B在平面ACD的射影H恰在CD上，M为HC中点，∠BAH=π6，AB=2，S△ABM=S△ABD=1.
（1）若CD⊥平面BAH，证明：M是CD的三等分点；
（2）记D的轨迹为曲线W，判断W是什么曲线，并说明理由；
（3）求CD的最小值.
（1）证明：由于CD⊥平面BAH，作HG⊥AB，垂足为点G，
因为AB⊂平面BAH，则CD⊥AB，
又因为HG⊥AB，且GH∩MH=H，MH,GH⊂平面GMH，
因此AB⊥平面GMH，因为GM⊂平面GMH，所以AB⊥GM，
同理可证：AB⊥GD，
又因为S△ABM=S△ABD，可得12AB⋅GM=12AB⋅GD，所以GM=GD，
因为GH⊂面ABH，从而MD⊥GH，
因此DH=MH=MC，进而M为DC的三等分点.
（2）解：椭圆，
延长BA至K，使得AK=AB，
由于S△ABM=S△ABD=1，可得M，D到AB的距离为定值，
因此M，D应在以AK为高线的圆柱上运动，且上下底面与AK垂直，
又因为M，D为平面ACD上两点，∠BAH=π6，
从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，
因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下.
（3）解：以A为原点，HA所在直线为x轴，过A点与HB平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为r=1，
故由图可知椭圆的短半轴长为1，
由∠BAH=π6，从而椭圆的长轴a=rsinπ6=2r=2，进而椭圆方程E：x24+y2=1，
又由∠BAH=π6，BH⊥平面ACD，从而HA=ABcsπ6=3，即H-3,0,0，
由定义知H为椭圆的左焦点，设E的右焦点为F3,0,0，则FD=4-DH，
设∠DHA=θ，
在△DHF中，由余弦定理，可得HF2+HD2-2FH⋅DHcsθ=FD2，
解得DH=12-3csθ，同理可得：MH=12+3csθ，
解法1：由CD=2MH+DH=6-3csθ4-3cs2θ，
令csθ=x,x∈-1,1，则fx=6-3x4-3x2，可得f'x=-33x2+36x-434-3x22，
令f'x=0，解得x1=-46+633，x2=46+633（舍去），
当x∈-1,x1，f'x