2025-2026学年广西智桂大联考高三上学期12月名校联考数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年广西智桂大联考高三上学期12月名校联考数学试题 [附解析]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
6．已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（ ）
A．8B．10C．12D．16
7．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知平面，直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．为研究某种树的树高和胸径的关系，甲学习小组随机测量了100棵该品种树的胸径x（单位：cm）和树高y（单位：m）的数据，已知其中一组数据为点，且，求得线性经验回归方程为，其决定系数，并绘制了如下残差图．该小组研究发现，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则下列结论正确的是（ ）
A．乙学习小组对这组数据进行分析，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲小组选取的模型拟合效果更好
B．数据点P对应的残差为0.9
C．该样本中树的平均树高为22.29m
D．删除数据点P后，重新求得的回归直线的斜率变小
11．设O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上的一点，且，若的内切圆半径为a，设内切圆圆心，则（ ）
A．B．为直角三角形
C．的面积为acD．C的离心率为
三、填空题
12．某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ．
13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则 ．
14．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ．
四、解答题
15．为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
(1)求x，y的值，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动．现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率．
附：
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极大值，且，求a的取值范围.
17．如图，在平行六面体中，，，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若动点P满足，，且，求的取值范围．
18．已知圆M：，定点，点为圆上一动点，线段的中垂线交于点，记点的轨迹为曲线．动直线与曲线交于不同的两点，，且的面积，其中为坐标原点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：和均为定值；
(3)设线段的中点为，求的最大值．
19．已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列是否是“数列”，并说明理由；
(3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列．
答案
1．C
解析：命题“，”为全称量词命题，其否定为：，．
故选：C．
2．B
解析：复数z满足，
得,
.
故选：B
3．D
解析：函数 的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，
又时，，可排除A、B选项，
同时时，有无数零点，同时也有的情况，
故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确.
故选：D
4．A
解析：法一：由，则，
法二：由，则，
.
故选：A．
5．A
解析：因是定义在上的奇函数，则，
又，则，
故，即，则，
故4是函数的一个周期，
于是.
故选：A.
6．C
解析：设，
则，所以，
由抛物线的焦点弦公式可得.
故选：C.
7．A
解析：依题意，
又，则，即有
在中，，由正弦定理得
且
则
在中，
所以山高为米.
故选：A.
8．B
解析：函数，求导得，
由函数在区间上单调，得，或，
①，，令函数，
求导得，函数在上单调递减，
于是，因此；
②，，由①得，
所以的取值范围为.
故选：B
9．BD
解析：选项A：若，，，则或与异面，A说法错误；
选项B：若，，，，则由平面与平面垂直的性质可得，B说法正确；
选项C：若，，则可能平行，相交或垂直，C说法错误；
选项D：若，，则在内可找到的平行线使得，所以由可得，D说法正确；
故选：BD
10．AC
解析：对于A：决定系数越大，模型的拟合效果越好，，选项A正确；
对于B：计算数据对应的残差，当时，，
所以残差为，选项B错误；
对于C：已知，则样本中心点的横坐标：，
将代入回归方程，可得y=0.25×29.16+15=7.29+15=22.29，
所以样本中树的平均树高为，选项C正确；
对于D：删除数据后，
因为38.4大于样本中心点的横坐标29.16，且23.7小于通过回归方程计算出的38.4对应的预测值24.6，
所以删除该点后，剩下的数据整体上可能使得树高与胸径的正相关变强，
即重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误．
故选：AC．
11．BD
解析：如图，设点P在第一象限，设的内切圆与三边相切于点D，E，F，则，，，
由双曲线的定义得，设，所以，所以，若点P在第二象限，同理可得，A错误；
设的中点为M，由，知．
因为，，所以为直角三角形，B正确；
在中，，C错误；
在中，，，
在中，，，知，
由，得，D正确．
故选：BD.
12．
解析：依题意得该圆锥的母线长为，则该圆锥的表面积为．
故答案为.
13．
解析：由是等比数列可得，是等差数列可得，
所以.
故答案为.
14．
解析：设事件“3次之内（含3次）停止摸球”，
事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”；
事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”；
事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”；
事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（），
事件“一直没有选择甲袋”．
则．
．
．
因此．
故答案为.
15．（1）
，，
零假设：学生对该运动的喜欢程度与性别无关，
则，
故根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，则学生对该运动的喜欢程度与性别有关.
（2）设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为，女生中喜欢该运动的人数为，
从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有，
， ，
所以这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为.
16．（1）当时，则，可得，
则，，即切点坐标为，斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且，，
若，则恒成立，可知在定义域内单调递增，
所以不存在极值，不合题意；
若，当时，；当时，；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为；
综上所述：，，
因为，可知为上的减函数，且，
由可得，所以a的取值范围为.
17．（1）因为，，所以和为等边三角形，且，
连接AC、BD，设，则，
又因为，所以在中，，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
又因为，平面ABCD，所以平面，
即到平面的距离为．
（2）由（1）知平面ABCD且ABCD为正方形，
以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
设平面的法向量为，
由，即，
令，则，
设与平面所成角为，则，
∴与平面所成角的正弦值为；
（3）由知，点P在平面内，
又，∴点P在圆心为D，半径为的圆上，
∵，所以点B在圆外，则，
∴的取值范围为．
18．（1）由题意，圆心，半径，所以，
由中垂线的性质知，
因为，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长为，焦距为，
设其方程为，
由，，得，
则曲线C的方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，P，Q关于x轴对称，，，
因为点P在椭圆上，所以，
又因为，解得，，
此时，，
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
联立，消去y得，
由，得（*），
由韦达定理，，
则，
点O到直线的距离，
由，
整理得，即，满足（*）式，
此时，
，
综上：，，结论成立．
（3）因为线段的中点为，所以，
所以，.
由（2）知：，，所以，，
所以.
由于，，所以.
所以要使得取最大值，则取最小值为0，
此时取最大值为.
19．（1）因为①，所以当时，②.
①②式相减得即数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列.
由于，可得，所以.
当为奇数时，设，；
当为偶数时，设，；
综上，数列的通项公式为.
（2）是，理由如下：
当为奇数时，为偶数，则，则；
当为偶数时，为奇数，则，则；
所以对于任意正整数，恒成立.
当为奇数时，，；
当为偶数时，，；
所以对于给定的正整数2，对于任意的正整数恒成立.
所以数列是“数列”.
（3）因为数列是“数列”，则（），
当时，，
则，
所以数列是等差数列，首项为，设公差为；
当时，，
则，
所以数列是等差数列，首项为，设公差为；
当时，，
则，
所以数列是等差数列，且首项为，设公差为；
因为对任意正整数n，恒成立，所以，
即，
所以，且，
若，则当且时，，
由性质①对于任意的正整数n，恒成立，产生矛盾；
若，则当时，，
这也与性质①产生矛盾；
所以；
同理由，可得；
记，
由题意，存在整数，使得，，，成等差数列，
可设，
则，
同理可得，，
即对任意整数，恒成立，
所以是等差数列．喜欢程度性别
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