2025-2026学年广西部分校高三（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年广西部分校高三（上）联考数学试卷（12月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x1”的否定是( )
A. ∀x0)的左、右焦点，P是C上的一点，且(OF2+OP)⋅PF2=0，若△PF1F2的内切圆半径为a，设内切圆圆心I(x0,y0)，则( )
A. x0=aB. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为acD. C的离心率为 3+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的底面半径为3，高为 7，则该圆锥的表面积为 ．
13.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a8= 3，b7=10π3，则tanb2+b121−a3a13= ．
14.已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内(含3次)停止摸球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
(1)求x，y的值，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1a2．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1e,f(1e))处的切线方程；
(2)若f(x)有极大值g(a)，且g(a)k)恒成立，则称数列{an}是“R(k)数列”．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}是否是“R(2)数列”，并说明理由；
(3)已知数列{bn}是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b3p−3，b3p−1，b3p+3成等差数列，求证：{bn}是等差数列．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.A
6.C
7.A
8.B
9.BD
10.AC
11.ABD
12.21π
13.− 3
14.43108
15.解：(1)根据题意可知，将表格的数据填写完整如下：
x=70，y=50，
零假设H0：学生对该运动的喜欢程度与性别无关，
则χ2=200(30×50−50×70)280×120×100×100=253≈8.333>7.879，
故根据小概率值α=0.005的独立性检验，可知零假设不成立，则学生对该运动的喜欢程度与性别有关．
(2)设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y，
从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有C53C32=30，
P(X=1,Y=1)=C21C32C21C11C53C32=1230，P(X=0,Y=2)=C20C33C22C10C53C32=130，
所以这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为1230+130=1330．
16.解：(1)当a=−1时，那么函数f(x)=lnx+x+1，可得导函数f′(x)=1x+1，
那么f(1e)=1e，f′(1e)=e+1，即切点坐标为(1e,1e)，斜率k=e+1，
因此y=f(x)在点(1e,f(1e))处的切线方程为y=(e+1)(x−1e)+1e，即(e+1)x−y−1=0．
(2)根据题意可知：f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1x−a=1−axx，a≠0，
若a0恒成立，可知f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增，
因此函数f(x)不存在极值，不合题意；
若a>0，当x>1a时，f′(x)0，得3k2+2>m2(∗)，
由韦达定理x1+x2=−6m3k2+2，x1x2=3(m2−2)3k2+2，
则|PQ|= 1+k2|x1−x2|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
= 1+k2×2 6 3k2+2−m23k2+2，点O到直线的距离d=|m| 1+k2，
由S△OPQ=12|PQ|×d=12 1+k2×2 6 3k2−2−m23k2+2×|m| 1+k2
= 6|m| 3k2+2−m23k2+2= 62，
整理得(3k2+2)2−4m2(3k2+2)+4m4=0，即3k2+2=2m2，满足(∗)式，
此时x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6km3k2+1)2−2×3(m2−2)3k2+2
=(−6km2m2)2−2×3(m2−2)2m2=3(3k2+2)−3m2m2=6m2−3m2m2=3，
y12+y22=23(3−x12)+23(3−x22)=4−23(x12+x22)=2，
综上：x12+x22=3，y12+y22=2，结论成立；
(3)因为线段PQ的中点为E，所以E(x1+x22,y1+y22)，
所以|OE|= (x1+x2)24+(y1+y2)24= x12+x22+y12+y22+2x1x2+2y1y22，
|PQ|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= x12+x22+y12+y22−2x1x2−2y1y2，
由(2)知：x12+x22=3，y12+y22=2，
所以|OE|= 5+2x1x2+2y1y22，|PQ|= 5−2x1x2−2y1y2，
所以|OE||PQ|=12 (5+2x1x2+2y1y2)(5−2x1x2−2y1y2)=12 25−(2x1x2+2y1y2)2，
由于x12+x22=3≥2|x1x2|，y12+y22=2≥2|y1y2|，所以|x1x2|≤32,|y1y2|≤1．
所以要使得|OE||PQ|取最大值，则(2x1x2+2y1y2)2取最小值为0，
此时|OE||PQ|取最大值为52．
19.解：(1)因为an+an+1=4n+1①，因此当n≥2时，an−1+an=4(n−1)+1=4n−3②，
①②式相减得an+1−an−1=4(n≥2)因此数列{an}的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，
由于an+an+1=4n+1，a1=1，可得a1+a2=5，因此a2=4，
当n为奇数时，设n=2k−1，k∈N∗，a2k−1=a1+(k−1)×4=4k−3=2n−1，
当n为偶数时，设n=2k，k∈N∗，a2k=a2+(k−1)×4=4+4k−4=2n，
因此an=2n−1,n为奇数2n,n为偶数；
(2)是，理由如下：
当n为奇数时，因此an+1=2(n+1)，因此an+1−an=2(n+1)−(2n−1)=3>0，
当n为偶数时，因此an+1=2(n+1)−1=2n+1，因此an+1−an=(2n+1)−2n=1>0，
因此对于任意正整数n，an+1≥an恒成立，
当n为奇数时，an=2n−1，an−2+an+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=4n−2=2an，
当n为偶数时，an=2n，an−2+an+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2an；，
因此对于给定的正整数2，an−2+an+2=2an对于任意的正整数n>2恒成立，
因此数列{an}是“R(2)数列”；
(3)证明：因为数列{bn}是“R(3)数列”，则bn−3+bn+3=2bn(n≥4)，
当n=3k+1，k∈N∗时，b3k−2+b3k+4=2b3k+1，
则b3k+1−b3k−2=b3k+4−b3k+1，
所以数列{b3n−2}是等差数列，首项为b1，设公差为d1，
当n=3k+2，k∈N∗时，b3k−1+b3k+5=2b3k+2，
则b3k+2−b3k−1=b3k+5−b3k+2，
所以数列{b3n−1}是等差数列，首项为b2，设公差为d2，
当n=3k+3，k∈N∗时，b3k+b3k+6=2b3k+3，
则b3k+3−b3k=b3k+6−b3k+3，
所以数列{b3n}是等差数列，且首项为b3，设公差为d3，
因为对任意正整数n，bn≤bn+1恒成立，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，
即b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，
所以n(d2−d1)≥b1−b2，且n(d2−d1)≤b1−b2+d1，
若d2−d1b1−b2d2−d1且n∈N∗时，b3n+1>b3n+2，
由性质①对于任意的正整数n，bn+1≥bn恒成立，产生矛盾；
若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，b3n+2>b3n+4，
这也与性质①产生矛盾；
所以d1=d2，
同理由b3n+1≤b3n+3≤b3n+4，可得d1=d3，
记d1=d2=d3=d，
由题意，存在整数p(p>1)，使得b3p−3，b3p−1，b3p+1，b3p+3成等差数列，
可设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=μ，
则b3n−1−b3n−2=b3p−1+(n−p)d−[b3p+1+(n−p−1)d]=b3p−1−b3p+1+d=d−μ，
同理可得b3n−b3n−1=b3p−3+(n−p+1)d−[b3p−1+(n−p)d]=d−μ，
b3n+1−b3n=b3p+1+(n−p)d−[b3p+3+(n−p−1)d]=d−μ，
即对任意整数n，bn+1−bn=d−μ恒成立，
所以{bn}是等差数列．喜欢程度性别
喜欢
感觉一般
合计
男
30
x
女
y
50
100
合计
200
P(χ2≥k)
0.05
0.01
0.005
k
3.841
6.635
7.879
喜欢程度性别
喜欢
感觉一般
合计
男
30
70
100
女
50
50
100
合计
80
120
200