2025-2026学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.甲在一次考试中六门课程得分分别为：87，60，76，89，90，100.则此数据的极差为( )
A. 13B. 40C. 24D. 10
2.已知直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2：x−ay+1=0，a∈R，若l1⊥l2，则a的值为( )
A. 0B. −1C. 1D. 0或−1
3.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
4.函数y=(3x−1)2的导数为y′=( )
A. 18x−6B. −18x+6C. 6x−2D. −6x+2
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为A，若∠F1F2A=π6，则椭圆的离心率为( )
A. 3B. 13C. 33D. 3
6.已知数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N*)，数列{bn}满足b1=2，且数列{anbn}的前n项和Tn=(3n−4)⋅2n+1+8，则数列{bn}的通项公式为( )
A. bn=2nB. bn=22n−1C. bn=n+1D. bn=2n
7.已知P为抛物线y2=4x上的一点，过P作圆C：(x−3)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当cs∠APB最小时，四边形PACB的面积为( )
A. 7B. 3C. 72D. 32
8.双曲线E：x2a2−y2=1(a>0)的离心率e= 52，直线l为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知M为该双曲线右支上一动点，点M′为点M关于直线l的对称点，则M′到双曲线另一条渐近线距离的最小值是( )
A. 4 305B. 22 525C. 4 65D. 4 3025
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则下列说法正确的有( )
A. 若d>0，则数列{an}一定是递增数列B. 若a1=5，d=−2，则a4=−1
C. Sn一定是关于n的二次函数D. 若a3+a5=10，则a4=5
10.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2+2x−a=0相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是( )
A. 实数a的取值范围为[0,8]
B. 当a=2时，两圆的公共弦长|AB|=2 3
C. 当a=4时，SΔC2AB=2
D. 若SΔC2AB=2SΔC1AB，则a=6
11.已知动点P到两定点F1(− 2,0)，F2( 2,0)的距离乘积为定值2，P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是( )
A. 动点P的轨迹方程为：(x2+y2)2=4(x2−y2)
B. 曲线C上存在点Q(x0,y0)，使得 x02+y02>2
C. 曲线C上点的纵坐标的最大值为 22
D. 若直线y=kx与曲线C恰有一个公共点，则k的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.8，则P(AB)=
13.已知数列{an}的通项公式an=(−12)n−1(n∈N*)，则此数列前n项和Sn的取值范围为 ．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 32，左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2⊥x轴，I为△PF1F2的内心，若IP⋅F1F2=2 3，则b2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0．
(1)求证：不论m为何值时直线l恒过定点，并求出定点坐标；
(2)(i)求证：直线l与圆C相交；
(ii)求出截得弦长最短时直线l的方程．
16.(本小题15分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−lnx−a24．
(1)若a=2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)在区间(13,1)上存在极值，且此极值小于lna，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=1,an+1=anan+3(n∈N*)．
(1)证明数列{1an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn=(3n−1)⋅n2n⋅an，设Tn为数列{bn}的前n项和，求使k0)，点P1(1,−2)在C上，k为常数，k>0，按照如下方式依次得到不同的点Pn(n=2,3,⋯)及Qn(n=1,2,⋯)：过点Pn−1(n=2,3,⋯)作斜率为k的直线与C交于点Qn−1(n=2,3,⋯)，过点Qn−1(n=2,3,⋯)作斜率为−k的直线与C交于点Pn(n=2,3,⋯).设直线PnQn(n=1,2,⋯)交x轴于点A2n−1，直线Pn+1Qn(n=1,2,⋯)交x轴于点A2n，记点An的横坐标为an．
(1)若k=12，求a1，a2；
(2)求证：数列{an+1−an}为等差数列；
(3)记△PnQnPn+1的面积为Sn，令dn=1Sn+1⋅Sn+2−Sn+12−Sn⋅Sn+2+Sn⋅Sn+1求证：当k=4时，d1+d2+⋯+dn0)，焦点坐标为(p2,0)，准线方程为x=−p2．
因为F2与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，
所以c=p2，所以p=2c，
因为椭圆与抛物线准线的一个交点为A，
所以点A的横坐标为−p2，
因为p=2c，所以A点的横坐标为−c，
所以AF1⊥F1F2，
在△F1F2A中，|F1F2|=2c，由∠F1F2A=π6可得|AF1|= 33|F1F2|=2 33c，|AF2|=2|AF1|=4 3c3，
由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a，即2 33c+4 33c=2a，
所以椭圆的离心率e=ca= 33．
故选：C．
首先得出c和p的关系，然后求出A点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于a，c的方程即可求解．
本题考查椭圆的定义与离心率，考查抛物线的方程与性质，正确求出a.c的关系是关键，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：对数列{anbn}，
当n=1时，a1b1=T1=−22+8=4，
当n≥2时，anbn=Tn−Tn−1=[(3n−4)⋅2n+1+8]−[(3n−7)⋅2n+8]=(3n−1)⋅2n，
当n=1时，上式也成立，
所以anbn=(3n−1)⋅2n．
由a1b1=4，b1=2，所以a1=2，
数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N*)，
可得a2=2a1+1=5．
公差d=a2−a1=5−2=3，
所以an=2+3(n−1)=3n−1，
所以bn=(3n−1)⋅2nan=(3n−1)⋅2n3n−1=2n．
故选：D．
先根据数列{anbn}的前n项和，求数列{anbn}的通项公式，再根据条件求a1，a2，结合数列{an}为等差数列求数列{an}的通项公式，即可得数列{bn}的通项公式．
本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：如图：
∵AP⊥AC，|AC|=1，当∠APC最大时，∠APB最大，
即当|AP|最小，也就是|PC|最小时，∠APB最大，cs∠APB最小，
设P(y24,y)，∵C(3,0)，
∴|PC|2=(y24−3)2+(y−0)2=y416−y22+9=116(y2−4)2+8，
∴当y=±2时，|PC|取得最小值，为2 2，
此时|PA|= 7，四边形PACB的面积为2S△PAC=|AP|⋅|AC|= 7×1= 7．
故选：A．
先分析出，当|PC|最小时，cs∠APB最小．再求|PC|的最小值及对应四边形的面积即可．
本题主要考查圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为双曲线E：x2a2−y2=1(a>0)的离心率为e= 52，
所以 a2+1a= 52，
解方程可得a=2．
所以斜率为正的渐近线l：y=12x，另一条渐近线为y=−12x．
设M(x0,y0)，M′(x0′,y0′)，因为M为该双曲线右支上一动点，所以x0>0，
由y0′−y0x0′−x0=−2y0′+y02=12⋅x0′+x02⇒x0′=3x0+4y05y0′=4x0−3y05．
渐近线y=−12x，化为一般式x+2y=0，
所以M′到渐近线y=−12x的距离为：d=|3x0+4y05+2×4x0−3y05| 12+22=|11x0−2y0|5 5．
由x024−y02=1，可设x0=2csθ，y0=sinθcsθ．
所以11x0−2y0=22csθ−2sinθcsθ=22−2sinθcsθ，
设22−2sinθcsθ=t⇒tcsθ+2sinθ=22，
所以22≤ t2+22，
所以t2≥480，所以|t|≥4 30．
所以|11x0−2y0|5 5≥4 305 5=4 65．
所以M′到双曲线另一条渐近线距离的最小值为4 65．
故选：C．
先确定双曲线的相关参数．设M(x0,y0)，利用轴对称表示出M′，写出点M′到另一条渐近线的距离，再利用三角代换的方法求最小值．
本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，正确求出点到直线的距离，利用正弦函数的性质求解是关键，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当d>0时，有an+1−an=d>0，等差数列{an}一定是递增数列，故A正确；
对于B，若a1=5，d=−2，则a4=a1+3d=5−6=−1，故B正确；
对于C，当d=0时，Sn=na1不是关于n的二次函数，故C错误；
对于D，当a3+a5=10时，a4=a3+a52=102=5，故D正确．
故选：ABD．
根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求a4的值，可判断B的真假；根据d=0时，数列的前n项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求a4的值，可判断D的真假．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0,0)，半径r1=2，
将圆C2：x2+y2+2x−a=0转化为标准方程为(x+1)2+y2=a+1，
所以其圆心C2(−1,0)，半径r2= a+1(a>−1)，
因为两圆相交，圆心距为|C1C2|=1，所以|r1−r2|