2025-2026学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.甲在一次考试中六门课程得分分别为：87，60，76，89，90，100.则此数据的极差为( )
A. 13B. 40C. 24D. 10
2.已知直线l1：(a−1)x+2y+1=0，l2：x−ay+1=0，a∈R，若l1⊥l2，则a的值为( )
A. 0B. −1C. 1D. 0或−1
3.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
4.函数y=(3x−1)2的导数为y′=( )
A. 18x−6B. −18x+6C. 6x−2D. −6x+2
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为A，若∠F1F2A=π6，则椭圆的离心率为( )
A. 3B. 13C. 33D. 3
6.已知数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N∗)，数列{bn}满足b1=2，且数列{anbn}的前n项和Tn=(3n−4)⋅2n+1+8，则数列{bn}的通项公式为( )
A. bn=2nB. bn=22n−1C. bn=n+1D. bn=2n
7.已知P为抛物线y2=4x上的一点，过P作圆C：(x−3)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则当cs∠APB最小时，四边形PACB的面积为( )
A. 7B. 3C. 72D. 32
8.双曲线E：x2a2−y2=1(a>0)的离心率e= 52，直线l为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知M为该双曲线右支上一动点，点M′为点M关于直线l的对称点，则M′到双曲线另一条渐近线距离的最小值是( )
A. 4 305B. 22 525C. 4 65D. 4 3025
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则下列说法正确的有( )
A. 若d>0，则数列{an}一定是递增数列B. 若a1=5，d=−2，则a4=−1
C. Sn一定是关于n的二次函数D. 若a3+a5=10，则a4=5
10.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2+2x−a=0相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是( )
A. 实数a的取值范围为[0,8]
B. 当a=2时，两圆的公共弦长|AB|=2 3
C. 当a=4时，SΔC2AB=2
D. 若SΔC2AB=2SΔC1AB，则a=6
11.已知动点P到两定点F1(− 2,0)，F2( 2,0)的距离乘积为定值2，P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是( )
A. 动点P的轨迹方程为：(x2+y2)2=4(x2−y2)
B. 曲线C上存在点Q(x0,y0)，使得 x02+y02>2
C. 曲线C上点的纵坐标的最大值为 22
D. 若直线y=kx与曲线C恰有一个公共点，则k的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.8，则P(AB)=
13.已知数列{an}的通项公式an=(−12)n−1(n∈N∗)，则此数列前n项和Sn的取值范围为 ．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 32，左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2⊥x轴，I为△PF1F2的内心，若IP⋅F1F2=2 3，则b2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0．
(1)求证：不论m为何值时直线l恒过定点，并求出定点坐标；
(2)(i)求证：直线l与圆C相交；
(ii)求出截得弦长最短时直线l的方程．
16.(本小题15分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−lnx−a24．
(1)若a=2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)在区间(13,1)上存在极值，且此极值小于lna，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=1,an+1=anan+3(n∈N∗)．
(1)证明数列{1an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn=(3n−1)⋅n2n⋅an，设Tn为数列{bn}的前n项和，求使k0)，点P1(1,−2)在C上，k为常数，k>0，按照如下方式依次得到不同的点Pn(n=2,3,⋯)及Qn(n=1,2,⋯)：过点Pn−1(n=2,3,⋯)作斜率为k的直线与C交于点Qn−1(n=2,3,⋯)，过点Qn−1(n=2,3,⋯)作斜率为−k的直线与C交于点Pn(n=2,3,⋯).设直线PnQn(n=1,2,⋯)交x轴于点A2n−1，直线Pn+1Qn(n=1,2,⋯)交x轴于点A2n，记点An的横坐标为an．
(1)若k=12，求a1，a2；
(2)求证：数列{an+1−an}为等差数列；
(3)记△PnQnPn+1的面积为Sn，令dn=1Sn+1⋅Sn+2−Sn+12−Sn⋅Sn+2+Sn⋅Sn+1求证：当k=4时，d1+d2+⋯+dn0⇒x>1a，由f′(x)=a−1x