浙江省舟山市2025-2026学年高二上学期期末数学试卷含答案（word版+pdf版）

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8.【解析】:
由 e=ca=a2+1a=52 ,解得 a=2 ; 故双曲线方程为 x24−y2=1 ,
则渐近线为 y=±x2 ,斜率为正的渐近线 l:y=12x ; 另一条渐近线为 y=−12x ,即 x+2y=0 .
设 Mx0,y0 在双曲线右支上,即 x024−y0​2=1x0>0 . 其关于 l 的对称点设为 M′x′,y′ ,
则 x′=3x0+4y05,y′=4x0−3y05 .
M ’到直线 x+2y=0 的距离为: d=x′+2y′5=x′+2y′5 .
则 x′+2y′=11x0−2y05 ,故 d=11x0−2y055 ; 因为 x024−y02=1x0>0 ,所以 x0=21+y0​2 .
则 11x0−2y0=221+y02−2y0 ; 令 fy0=221+y02−2y0 ,则 f′y0=22y01+y02−2 ,
要使 fy0 最小显然 y0>0 ,令 f′y0=0 可得 y0=1230 ,又 f′y0 在 y0∈0,+∞ 上单调递增.
因此当 y0=1230 时 dmin=465 ,(法二: 本题也可以令 t=11x0−2y0 ,转化为直线与双曲线右支相切时来求出 t 的最小值)
故选 C
二、选择题 II (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
11.【解析】
设 Px,y ,因为 PF1⋅PF2=2 ,所以 x+22+y2⋅x−22+y2=4
化简可得: x2+y22=4x2−y2 ,故 A 正确;
由轨迹方程可得: 当 x2+y2≠0 时有 02 ,故 B 不正确;
由轨迹方程可得:
y2=−2x2−4+42x2+120≤x2≤4 ,令 t=2x2+1∈1,3 ,则 y2=−t2+4t−32 ,
故当 t=2 时 y2​max=12 ，故 ymax=22 .
故曲线 C 上点的纵坐标的最大值为 22 ，故 C 正确；
直线 y=kx 与曲线 C 均经过原点 0,0 ,则直线 y=kx 与曲线 C 除原点外无其他公共点, 将 y=kx 代入曲线 C 得: x2+k2x22=4x2−k2x2 ,则 x41+k22=4x21−k2 则 x2=0 或 x2=41−k21+k22 ,由题意可知: 1−k2≤0 即可,则 k≤−1 或 k≥1 ,故 D 正确故选 ACD
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 0.56
13. 12,23∪23,1 14.433+2
14.【解析】
由 e=32 ,可得 a=2b,c=3b ,令 ΔPF1F2 内切圆的半径为 r ,则 r=23−32b ,
故 xI=c−r=32b ,不妨取 P 在第一象限,则 I32b,r ,而 Pc,b2a ,即 P3b,b2 ,则 IP=3−32b,b2−r ,由于 F1F2=2c,0 ,
则 IP⋅F1F2=2c⋅3−32b=233−32b2=23 ,故 b2=13−32=433+2
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本题满分 13 分)
(1)证明:直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0
可化为 m2x+y−7+x+y−4=0
令 2x+y−7=0x+y−4=0 ,解得 x=3y=1 .
故不论 m 为何值直线 l 恒过定点 A3,1 -5 分
(2)(i)证明:因为 3−12+1−22=50⇒x>1a ,即 fx 在 1a,+∞ 上单调递增;
令 f′x0 时, fx 在 0,1a 单调递减, 1a+,∞ 单调递增,则 fx 的极小值为 f1a=1−ln1a−a24 ,
故只需满足 13