2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (sin1)′=cs1B. (x3)′=3x4C. (ex)′=xex−1D. (csx)′=−sinx
2.已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x−(a−4)y+1=0，且l1⊥l2，则a=( )
A. 6B. −6C. 1或3D. −1或−3
3.圆(x−2)2+(y−2)2=2与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含
4.如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在MN上且满足MP=23MN，若OA=a，OB=b，OC=c，则与OP相等的向量是( )
A. 13a+13b+16c
B. 13a+16b+16c
C. 16a+16b+13c
D. 16a+13b+13c
5.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1a3a5=18，b1+b3+b5=23π4，则sinb2+b4a2a4的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
7.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=( )
A. 0B. ln2C. 1D. e
8.函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x,x∈(0,π2)的值域为( )
A. (0,3+4 24]B. (0,3+4 26]C. (0,3+4 25]D. (0,3+4 27]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点P(x0,y0)在抛物线C上，则( )
A. 抛物线C的准线方程为x=−2B. F的坐标为(4,0)
C. 若y0=4，则|PF|=4D. |PF|≥4
10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF= 22，则下列结论中正确的是( )
A. AC⊥BE
B. EF/​/平面ABCD
C. 三棱锥A−BEF的体积为定值
D. 异面直线AE，BF所成的角为定值
11.设函数f(x)=x−lnx−1，f(x)+g(x)=2x，正项数列{xn}满足：a1=1，an+1=g(an).下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值为0B. {an}不是单调函数
C. an≤2n−1D. i=2nln(1+1ai2)0,b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ．
13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AC和BD相交于点O，已知AC=2，BD= 22,OD1=1，在平面AB1C内，B1A+B1C=2 2，求二面角D1−AC−B1的余弦值的最大值 ．
14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知在函数g(x)=ln(x+1),x≥0ax(x+2b),x2+lnx−2(1−sinx)x．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A：因为(sin1)′=0，所以A错误；
B：因为(x3)′=3x2，所以B错误；
C：因为(ex)′=ex，所以C错误；
D：因为(csx)′=−sinx，所以D正确．
故选：D．
利用基本函数求导法则计算出答案．
本题考查基本初等函数的导数，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为l1⊥l2，
所以a×1−3(a−4)=0，解得a=6．
故选：A．
根据两直线垂直的位置关系建立关于a的方程，解之即可．
本题考查两条直线垂直的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：圆(x−2)2+(y−2)2=2的圆心坐标C1(2,2)，半径r1= 2；圆x2+y2=1的圆心坐标C2(0,0)，半径r2=1．
圆心距：d= (2−0)2+(2−0)2=2 2>r1+r2，
故两圆外离．
故选：A．
求出两圆的圆心距及两圆的半径，通过比较圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系来判断两圆的位置关系．
本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，
∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)．
∵MP=23MN，
∴OP=OM+23ON−23OM=13OM+23ON=16a+13b+13c．
故选：D．
M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，可得OM=12OA，ON=12(OB+OC).由MP=23MN，利用向量的三角形法则、线性运算即可得出．
本题考查了向量的线性运算、向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意可得a=2，b= 3，c=1，
∴△PF1F2的周长为2a+2c=6．
故选：D．
根据题圆的几何性质即可求解
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为{bn}是等差数列，且b1+b3+b5=23π4，
即3b3=23π4，解得b3=23π12，
所以b2+b4=2b3=23π6，
又因为数列{an}为等比数列，且a1a3a5=18，
即a33=18，解得a3=12，
所以a2a4=a32=14；
所以b2+b4a2a4=23π614=46π3，
所以sinb2+b4a2a4=sin46π3=sin(15π+π3)=−sinπ3=− 32．
故选：C．
由等比、等差数列的性质可得a3=12，b3=23π12，从而可得a2a4=14，b2+b4=23π6，则有sinb2+b4a2a4=sin46π3，结合诱导公式求解即可．
本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由y=ex+x，得y′=ex+1，y′|x=0=e0+1=2，
故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1；
由y=ln(x+1)+a，得y′=1x+1，
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y′=1x0+1=2，解得x0=−12，则切点为(−12,a+ln12)，
切线方程为y=2(x+12)+a+ln12=2x+1+a−ln2，
根据两切线重合，所以a−ln2=0，解得a=ln2．
故选：B．
先求出曲线y=ex+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+1)+a的切点为(x0,ln(x0+1)+a)，求出y′，利用公切线斜率相等求出x0表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：y=sinx+12sin2x+13sin3x
=sinx+12⋅2sinxcsx+13(3sinx−4sin3x)
=−43sin3x+2sinx+sinxcsx
=−43sin3x+2sinx+sinx⋅ 1−sin2x，
令t=sinx，则由x∈(0,π2)，得t∈(0,1)，
则f(t)=−43t3+2t+t⋅ 1−t2，
f′(t)=−4t2+2+ 1−t2−t2 1−t2，
令m= 1−t2，由t∈(0,1)，得m∈(0,1)，
则f′(t)=g(m)=−4(1−m2)+2+m+m2−1m
=4m3+2m2−2m−1m，
当g(m)=0时，即4m3+2m2−2m−1=0，
所以(2m+1)(2m2−1)=0，
解得m=± 22或m=−12，
又因为m∈(0,1)，
所以当m∈(0, 22)时，g(m)0，
即当t∈(0, 22)时，f′(t)>0，f(t)在(0, 22)上单调递增，
当t∈( 22,1)时，f′(t)1，a4−a3=lna3+1>1，⋯，
an−an−1=lnan−1+1>1，所以an−a2>n−2，又a2=2，所以an>n(∀n>2)，
因为ln(x+1)≤x，即x−1≥lnx，
所以当n≥2时，ln(1+1an2)0时，h′(x)=1x+1+2ax−2ab在(0,+∞)上有两个不同零点，
令m(x)=1x+1+2a(x+1)−2ab−2a在(0,+∞)上有两个不同零点，
则m′(x)=−1(x+1)2+2a=0在(0,+∞)上必有零点，
令m′(x)=0，解得x=1 2a−1，解得0x(2+lnx)−2(1−sinx)，故原不等式成立
【解析】解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)．
∵f(x)≥0，∴xex−a(x+lnx)−1≥0，
令t=x+lnx，t∈R，则et−at−1≥0对任意t∈R恒成立，
令h(x)=ex−x−1，则h′(x)=ex−1．
令h′(x)>0，得x>0；令h′(x)t+1−1t=1，得a≤1．
当t2+lnx−2(1−sinx)x两边同乘x得x2ex>2x+xlnx−2(1−sinx)，
只需证明x2+xlnx+x>x(2+lnx)−2(1−sinx)，即证x2−x+2−2sinx>0，
令g(x)=x2−x+2−2sinx，x>0，
则g′(x)=2x−1−2csx，x>0．
易知当01时，x2−x+2>2且2≥2sinx，所以g(x)>0，
故对任意x∈(0,+∞)，都有g(x)>0，
∴x2+xlnx+x>x(2+lnx)−2(1−sinx)，故原不等式成立．
(1)由题意可得xex−a(x+lnx)−1≥0，令t=x+lnx，t∈R，h(x)=ex−x−1，求导根据导数可得h(x)≥h(0)=0，分t>0，t2+lnx−2(1−sinx)x，即证x2−x+2−2sinx>0，令g(x)=x2−x+2−2sinx，x>0，求导，根据导数证明即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．