2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (sin1)′=cs1B. (x3)′=3x4C. (ex)′=xex−1D. (csx)′=−sinx
2.已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x−(a−4)y+1=0，且l1⊥l2，则a=( )
A. 6B. −6C. 1或3D. −1或−3
3.圆(x−2)2+(y−2)2=2与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含
4.如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在MN上且满足MP=23MN，若OA=a，OB=b，OC=c，则与OP相等的向量是( )
A. 13a+13b+16c
B. 13a+16b+16c
C. 16a+16b+13c
D. 16a+13b+13c
5.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1a3a5=18，b1+b3+b5=23π4，则sinb2+b4a2a4的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
7.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=( )
A. 0B. ln2C. 1D. e
8.函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x,x∈(0,π2)的值域为( )
A. (0,3+4 24]B. (0,3+4 26]C. (0,3+4 25]D. (0,3+4 27]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点P(x0,y0)在抛物线C上，则( )
A. 抛物线C的准线方程为x=−2B. F的坐标为(4,0)
C. 若y0=4，则|PF|=4D. |PF|≥4
10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF= 22，则下列结论中正确的是( )
A. AC⊥BE
B. EF/​/平面ABCD
C. 三棱锥A−BEF的体积为定值
D. 异面直线AE，BF所成的角为定值
11.设函数f(x)=x−lnx−1，f(x)+g(x)=2x，正项数列{xn}满足：a1=1，an+1=g(an).下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值为0B. {an}不是单调函数
C. an≤2n−1D. i=2nln(1+1ai2)0,b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ．
13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AC和BD相交于点O，已知AC=2，BD= 22,OD1=1，在平面AB1C内，B1A+B1C=2 2，求二面角D1−AC−B1的余弦值的最大值 ．
14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知在函数g(x)=ln(x+1),x≥0ax(x+2b),x2+lnx−2(1−sinx)x．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.D
5.D
6.C
7.B
8.B
9.AC
10.ABC
11.ACD
12.54
13.34
14.1
15.证明：(1)已知数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+2，
则1an+1=an+22an=1an+12，即1an+1−1an=12，
所以数列{1an}是首项为12，公差为12的等差数列；
解：(2)由(1)可得1an=1a1+12(n−1)=n2，即an=2n，
则an4(n+1)=12n(n+1)=12(1n−1n+1)，
则数列{an4(n+1)}的前n项和：
Tn=12(1−12)+12(12−13)+12(13−14)+⋯+12(1n−1n+1)
=12(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)
=12(1−1n+1)=n2(n+1)．
16.解：(1)证明：题意知E，F分别是BC，CP的中点，所以PB//EF，
因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB//平面DEF；
(2)由PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，可知AB，AC，AP两两垂直，
则可以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，
所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则DE⋅n=y2=0DF⋅n=−12x+y2+z=0，
令z=1，则x=2，得n=(2,0,1)，
设直线PA与平面DEF所成角为θ，
则sinθ=|n⋅AP|n||AP||=|22× 5|= 55，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 55．
17.解：(1)该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式：
y=ax−3+10(x−6)2，其中32且2≥2sinx，所以g(x)>0，
故对任意x∈(0,+∞)，都有g(x)>0，
∴x2+xlnx+x>x(2+lnx)−2(1−sinx)，故原不等式成立．