湖南省邵东市第三中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份湖南省邵东市第三中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，文件包含湖南邵东三中2024年1月高二年级期末考试数学试卷docx、湖南邵东三中2024年1月高二年级期末考试数学试卷参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．AB10．ABD11．ABC12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 14．15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：
（1）设等差数列的首项为a1，公差为d
由题解得a1=d=2
所以an=2n，Sn=n2+n……………………4分
（2）由（1）知
则
两式相减得：
即……………………10分
18．（1）证明：连接，交的于，连接，
则为的中点，因为分别是，的中点，

，平面，平面，平面；……5分
（2）由（1）得：，
（或其补角）就是异面直线与所成的角，……6分
∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，
∴，，，
∴由余弦定理得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.……12分
19．解：（1）直线l的方程可化为
联立得，解得
故直线l恒过定点（3，1）．……6分
（2）当直线l过圆心c时，直线被圆截得的弦长最长．
当直线l⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，
由解得
此时直线l的方程是．
又圆心C（1，2）到直线的距离为

所以最短弦长为|AB|=2|AP|=4.……12分
20．（1）由，n∈N*可得
又a1=3，∴以4为首项，4为公比的等比数列
∴即……5分
（2）证明：由（1）得

=
又，所以
综上所述，.……12分
21．（1）由已知，
轨迹为双曲线的右支，，，，
曲线标准方程……5分
（2）由对称性可知，直线必过轴的定点
当直线的斜率不存在时， ，，，知直线经过点
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
直线 ，当时，，
得，，
下面证明直线经过点，即证，即,
即,由，
整理得， ，即
即证经过点，直线过定点……12分
22．解：（1）
时，>0，故在R上单调递增．
a>0时，令=0，则x=lna．
,0
故在上单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增．
当a>0时，在上单调递减，在单调递增……5分
（2）由（1）知，当时，在R上单调递增，所以至多有一个零点；a>0时，函数在上单调递减，在单调递增，x=lna时
有最小值。又有两个零点，∴，即.
即，又a>0，∴
令h(a)=a+lna－1(a>0) ∴
故h(a)在上递增，又h(1)=0 要使h(a)>0，则a>1
又
所以在上有一个零点
又易证：

∴
故在上也有一个零点
综上所述，要使有两个零点，则a的取值范围为．……12分