湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合交集的定义，计算即可.
【详解】，，
．
故选：C
2. 下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义和幂函数的单调性可得结论．
【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得奇函数，函数在上单调递减，符合题意．
选项B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
选项C：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得为偶函数，不是奇函数，不符合题意．
选项D：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得为奇函数，
函数在上单调递增，并非单调递减，不符合题意．
故选：A．
3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出半径，再根据扇形的面积公式计算可得.
【详解】因为弧长为的弧所对的圆心角为，
所以半径，则该弧所在扇形面积.
故选：B
4. 方程的解所在的区间为：
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】令，则函数在R上单调递增，而，，
即函数的唯一零点在区间内，所以方程的解所在的区间为.
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定的范围，根据特殊角的三角函数计算的值，即可.
【详解】对数函数在单调递增，
，即，
指数在单调递增，
，
，
，
.
故选：D
6. “（）”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数求得的值，结合充分，必要条件的定义判断即可．
【详解】若，则（）或（），推不出（）；
反过来，若（），可推出.
故“（）”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法、举反例、不等式性质和指数函数的图象与性质判断各个选项.
【详解】对于A，，因为，
但的大小关系不确定，当时，，则，即，A错误；
对于B，当时满足，此时，则，B错误；
对于C，若，所以，则，根据不等式的可加性，可得，C正确；
对于D，若，所以，对于指数函数和，
当时，的图象在图象的下方，即，所以，D错误.
故选：C.
8. 某数学兴趣小组在研究常用对数值时设计了下面表格，下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算法则计算后判断．
【详解】假设，，正确.
由得.
由，解得.
检验，与表格数据相符.
故的数据正确，题中只有一个数据错误，因此的数据错误.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值，且最大值为9
B. ab有最小值，且最小值为9
C. 有最大值，且最大值为6
D. 有最小值，且最小值为6
【答案】BD
【解析】
【分析】利用，得出关于或的一元二次不等式求解.
【详解】因为，所以，等号成立时，
即，得，得，
故ab有最小值，且最小值为9，故B正确；A错误；
因为，所以，等号成立时，
即，得，
故有最小值，且最小值为6，故D正确；C错误.
故选：BD
10. 当时，下列不等式可能成立的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对ABD举例判断即可；对C，对分段讨论即可判断.
【详解】对于A，，当时，，
，，
， A正确；
对于B，当时，
，即，
，即，
，B正确；
对于C，时，，
，，
不满足；
时，
不满足；
，，
不满足；
，，即，
，，
不满足；
，即，
，，
不满足；
综上，不满足；
对于D，，，，
，
，D正确.
故选：ABD
11. 已知函数对任意实数a，b均有，则称为“保积函数”，则下列说法正确的有（ ）
A. 若函数为保积函数，则
B. 对任意正实数，保积函数恒成立
C. 若保积函数的图象经过点，则函数为偶函数
D. 若保积函数，且当时，总有，则在上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例判断A；根据题干法则赋值判断B；结合题意分析求得，，令，由偶函数定义判断C；由单调性的定义判断D.
【详解】对于A，当时，为常数函数0，
显然，满足，
但是，故A错误；
对于B，由题意，令，则，故B正确；
对于C，令，则或，
若，则对，取，都有，
此时函数为常数函数0，不满足，
故；
令，则或，
若，取，则，所以，
结合选项B可知，，所以，
令，则，
又定义域为R，则函数为偶函数，故C正确；
对于D，设任意的，则，所以，由B选项可知，
所以，
所以在上单调递减，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数真数大于0，建立的不等量关系，求解即可.
【详解】函数有意义，
需，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案：.
【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题.
13. 若，使得，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【解析】
【分析】由得：，利用时，，计算即可.
【详解】，
，
，
，
令则，，
，即，
，解得：，
实数的取值范围为．
故答案为：
14. 函数，其图象经过点，函数，则关于的不等式的解集为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象经过点求出函数解析式，再代入化简不等式，分情况讨论求解即可.
【详解】由函数的图象经过点，
将代入对应的解析式得，解得，
则，
又，原不等式，
可化为，即.
结合的分段定义，分与两种情况代入的解析式展开化简，
1.当（即）时：
（1）若，则，，
代入不等式得，
化简得，恒成立，故.
（2）若，则，，
代入不等式得化简得，
即，解得.
2.当（即或）时，
（1）若，则，，
代入不等式得：，
化简得，即，解得.
（2）若，则，，
代入不等式得，
化简得，无解.
综合以上情况，整理得不等式的解集为，
即原不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）化简；
（2）若为第二象限角，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数诱导公式结合任意角即可化简；
（2）由（1）的结果，结合三角函数同角关系与角所在的象限，联立后即可求得的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由题意得，即，，
且为第二象限角，故，
联立，解得.
16. 某科技公司根据多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，．
（1）求的值；
（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加100万元，则明年的研发投入需要增加到今年的多少倍？
【答案】（1）
（2）2倍.
【解析】
【分析】（1）根据当时，求值；
（2）根据以及对数的运算法则求解.
【小问1详解】
当时，，解得；
【小问2详解】
设今年的研发投入为，利润为，明年的研发投入为，利润为，
依题意可得
，
故，则，
故明年的研发投入需要增加到今年的2倍.
17. 已知函数．
（1）当时，判断奇偶性；
（2）若实数为方程的两根，求的值．
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）求解与根据奇函数与偶函数的定义即得；
（2）由韦达定理得到相关式子，代入化简即可.
【小问1详解】
当时，，定义域R，
，
故为奇函数．
【小问2详解】
依题意可得：，
，
故
18. 设矩形的周长为12cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点．
（1）求的周长；
（2）求PC的最小值；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】(1)利用折叠证，将周长转化为矩形半周长，直接得定值.
(2)勾股定理列方程得表达式，用基本不等式求最小值.
(3)代入面积公式化简，结合基本不等式求得面积最大值.
【小问1详解】
设点折叠后的对应点为，如图：
由矩形及折叠性质可知：，，，
，，
的周长为.
【小问2详解】
设，则，
设，则，
在中，由勾股定理可得，解得，
则，当且仅当即时等号成立，
所以最小值为.
【小问3详解】
由(2)可知的面积，
当且仅当即时等号成立，
所以的最大面积为.
19. 记双曲正弦函数，双曲余弦函数，其中e为自然对数的底数．
（1）证明为定值，并求出该值；
（2）若函数的最小值为0，求实数的值；
（3）若函数在上只有1个零点，求实数的取值范围．
（注：
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数定义化简即可；
（2）化简，令，将问题转化为在上的最小值为0，再分类讨论对称轴即可；
（3）利用，化简，再令，将问题转化为在上只有1个零点，再结合一元二次函数的性质求解或参变分离求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
故
令，等号成立时，
依题意可得，在上的最小值为0，
①当对称轴，即时，在上单调递增，
此时，解得或（舍）；
②当对称轴，即时，
此时，无解．
综上所述，的值为；
【小问3详解】
因为，
，
所以
，
令，则
若，则，
因为在上单调递增，所以，
依题意可得，在上只有1个零点，
①当即时，
此时的唯一零点，不符题意；
②当即时，只需，
即，解得，
综上所述，的取值范围为．
另解，在上只有1个零点，
则方程在上只有1个实根，
即在上只有1个实根，故.
1.125
2
3
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