湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知数列满足，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知在空间直角坐标系中，点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 1或
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（3局2胜制）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示该局比赛甲获胜，当出现随机数4，5时，表示该局比赛乙获胜；现每3个随机数为一组，产生了20组随机数：
125 423 223 345 134 453 521 342 152 542
534 442 512 541 155 412 334 152 121 354
若设事件“甲获得冠军”，记这次利用计算机模拟试验所得到的事件的概率为，记事件的概率精确值为，则两者之间大小关系为（ ）
A B.
C. D. 无法确定
7. 已知数列满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互斥B. 与相互独立
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. （多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则点的轨迹方程为（且）
B. 若，则点的轨迹为抛物线的一部分
C. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分
D. 若，则点的轨迹方程为
11. 已知数列前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为常数列
B. 数列为等比数列
C. 记数列的前项和为，则
D. 记数列的前项和为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角的大小是______.
13. 在平行六面体中，，，，则线段的长度为__________.
14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某文具店推出“盲盒抽奖”活动，共有个外观完全相同的盲盒，其中个为一等奖，个为二等奖，个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒，每次抽取个.
（1）求顾客“第二次才抽到一等奖”的概率；
（2）求顾客“在前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖”的概率.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
17. 已知圆，点，以线段为直径的圆与圆交于，两点.
（1）求直线的方程；
（2）设直线与轴交于点，是否存在过点的直线与圆交于，两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18. 已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对所有的成立，求实数的取值范围.
19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，若圆锥母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线.

如图2所示，为圆锥顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且，为弧的中点，点满足，点为线段的中点.
（1）求直线与平面所成角正弦值；
（2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.
（i）求出曲线的标准方程；
（ii）已知曲线与轴的交点分别为，，点为曲线上一点，且不在坐标轴上，直线，分别与轴交于点，，若的面积为，的面积为，求的取值范围.高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标．
【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为．
故选：B．
2. 已知在空间直角坐标系中，点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此即可得解.
【详解】因为关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，
所以在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为.
故选：A.
3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为直线与垂直，
则，即，解得.
故选：B.
4. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解．
【详解】等比数列的首项为1，，，
即，解得，
.
故选：C.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，再根据，即可得到，从而求出渐近线方程；
【详解】解：因为双曲线的离心率为2，即，又，所以，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为；
故选：A
6. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（3局2胜制）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示该局比赛甲获胜，当出现随机数4，5时，表示该局比赛乙获胜；现每3个随机数为一组，产生了20组随机数：
125 423 223 345 134 453 521 342 152 542
534 442 512 541 155 412 334 152 121 354
若设事件“甲获得冠军”，记这次利用计算机模拟试验所得到的事件的概率为，记事件的概率精确值为，则两者之间大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】通过独立事件概率公式求出事件的概率精确值，根据20组随机数中甲获胜的频率得到，通过比较和的值求解.
【详解】由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：125 423 223 134 521 342 152 512 412 334 152 121
有12组，所以甲获胜的频率为，即
甲获得冠军精确概率为，
故，
故选：B.
7. 已知数列满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数性质可知，进而将目标式子化为，代入求值即可.
【详解】根据反比例函数性质可知，
故
.
故选：B.
8. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互斥B. 与相互独立
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，从而得到答案.
【详解】事件：“两个奇数”或“两个偶数”；事件：“1个奇数1个偶数”或“两个偶数”；
可得：，且事件与事件不互斥；
：即2个偶数，故即事件与事件不相互独立；
：包含所有基本事件，故.
故选 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式结合题意列方程组即可求出，可判断AB；再利用等差数列的前项和公式可判断CD.
【详解】由题意得，解得，
故A错误，B正确；
，故C正确；
，
，
故，故D错误.
故选：BC.
10. （多选题）已知，，直线与相交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则点轨迹方程为（且）
B. 若，则点的轨迹为抛物线的一部分
C. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分
D. 若，则点的轨迹方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线的斜率公式，结合已知条件列出关于的等式，然后化简等式得到轨迹方程，再根据方程的形式判断轨迹的形状.
【详解】，，且；
选项A中，，即（且），故A正确；
选项B中，，即（且），故B正确；
选项C中，，即（且），其轨迹为双曲线的一部分，故C错误；
选项D中知，，即，又因为，
解得（），故D正确.
故选：ABD
11. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为常数列
B. 数列为等比数列
C. 记数列的前项和为，则
D. 记数列的前项和为，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，证明，即可判断；对于B，利用求出时，，即可判断；对于C，利用裂项相消法求出，即可判断；对于D，通过作差法得到为递增数列，即可判断.
【详解】，
而，
所以，所以为常数列，故A正确；
因为，所以当时，，
当时，，而，
所以数列不是等比数列，故B错误；
当时，，此时，
则，
，
因为，则，
所以，故C正确；
记，
，
当时，，则，
所以为递增数列，当时，最小，最小值为，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角的大小是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据方程求斜率，根据斜率的定义可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，
则，可得，
所以直线的倾斜角是.
故答案为：.
13. 在平行六面体中，，，，则线段的长度为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量法，将用已知向量，，表示出来，再通过向量模长公式计算的长度.
【详解】在平行六面体中，
根据向量加法的三角形法则可得：
，
因为，，
所以，
对上式两边平方可得：，
根据完全平方公式可得：，
又因为，，
所以，
，
，
则，
所以
故答案为：.
14. 已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，
延长交双曲线于点，
因为，由对称性得.
设，则，由双曲线的定义得，，
由，
知，
化简得，所以，
则椭圆的离心率为，
又椭圆的离心率的取值范围为，所以又，
解得，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某文具店推出“盲盒抽奖”活动，共有个外观完全相同的盲盒，其中个为一等奖，个为二等奖，个为三等奖.顾客需不放回抽取盲盒，每次抽取个.
（1）求顾客“第二次才抽到一等奖”的概率；
（2）求顾客“在前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖”的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）记一等奖盲盒记为，二等奖盲盒记为、，三等奖盲盒记为、，利用列举法结合古典概型概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
设一等奖盲盒记为，二等奖盲盒记为、，三等奖盲盒记为、，
样本空间为
，所以，
记事件：第二次才抽到一等奖，则，则，
故，即第二次才抽到一等奖的概率为.
【小问2详解】
记事件前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖，
则，则，
故，
即前两次抽取中，恰好抽到个二等奖和个三等奖的概率为.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求相关向量坐标，最后用公式算异面直线所成角的余弦值.
（2）求出平面与平面的法向量，再利用二面角公式进行求解.
【小问1详解】
平面，
，，
又四边形为正方形，
，
以为坐标原点，，，所在直线为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设直线与所成角为，
则，，，，，
，，
直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
设平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为.
易知平面，取，
又，
由，令，则，
，
又因为，所以
故平面与平面的夹角大小为.
17. 已知圆，点，以线段为直径的圆与圆交于，两点.
（1）求直线的方程；
（2）设直线与轴交于点，是否存在过点的直线与圆交于，两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）先根据圆心及半径得出圆的标准方程，再联立得出圆的交点，进而得出公共弦所在直线即可；
（2）先求出到直线的距离为，再分斜率存在及不存在设直线，应用点到直线距离计算求参数即可求解直线.
【小问1详解】
以为直径的圆的圆心为，半径为，
故方程为，整理得，
联立圆的方程，，
即得，得或，
可得，，所以，
所以得直线的方程为，即得.
【小问2详解】
由（1）得直线的方程为，令得，故点的坐标为，
因为，圆的半径为，所以，
设到直线的距离为，则.
①当直线的斜率不存在时，到直线的距离为，不符题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，
到直线的距离为，解得，
故存在这样的直线，方程为或.
18. 已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为.
（i）求数列的前项和；
（ii）若对所有的成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出数列的公差求出通项公式.
（2）（i）由（1）的结论，按奇偶分类探讨与项间关系，求出的通项，再按奇偶求出；（ii）按奇偶分类讨论，结合数列单调性求出的范围.
【小问1详解】
依题意，数列的首项为1，公差为，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
（i）依题意，，，即，
当为偶数时，
；
当为奇数时，；
所以.
（ii），
当为奇数时，，
此时数列为递增数列，因此，则，即；
当为偶数时，，
此时为递减数列，因此，则，即，
所以实数的取值范围是.
19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，若圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线.

如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且，为弧的中点，点满足，点为线段的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.
（i）求出曲线的标准方程；
（ii）已知曲线与轴的交点分别为，，点为曲线上一点，且不在坐标轴上，直线，分别与轴交于点，，若的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）方法一：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法求解；方法二：设，连接，证明平面，即为直线与平面所成角，求即可；
（2）（i）由题意可知曲线为椭圆，且焦点在轴，该椭圆的方程为，其中，求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出，即可求出答案；（ii）求出和，得，根据函数的单调性及的范围即可求解.
小问1详解】
方法一：因为为圆的一条直径，且为弧的中点，则，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
因为，则，，
则，，，，，
因为，则，
故，，，
设平面的法向量为，
由令，则，，
则，设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：，且为的中点，，
设，连接，
因为为等边三角形，则为的中心，
则，，
平面，平面，，
为圆的一条直径，且为弧的中点，则，
又，平面，平面
又平面，，
，，
又且，平面，
平面，
即为直线与平面所成角，
在中，，，
，，.
【小问2详解】
（i）由（1）知，直线与平面所成角的正弦值为，即大小为，
而为等边三角形，易知直线与圆锥母线所成的角为，故曲线为椭圆，
且椭圆的焦点在上，即在轴上，
设该椭圆的方程为，
，故；
由（1）可得，，，
易得，即，且，
设的中点为，易得，，故，
故点在平面内的坐标为，
因为点在曲线上，故有
故曲线的标准方程为.
（ii）设，不妨设，，
直线的方程为，令，，
直线的方程为，令，，
得到，
，
故，其中，
而在上单调递减，故，
即的取值范围为.