高考物理三轮复习冲刺过关练习易错点07 万有引力（2份，原卷版+解析版）

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【知识点一】开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．万有引力定律
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
【知识点二】星体表面的重力加速度
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，mg＝eq \f(GMm,R2)；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al(2,自).
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
物体在距地面一定高度h处时，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′(R＋h)2.
【知识点三】天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
一、多选题
1．（2022·湖南·统考高考真题）如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【答案】CD
【详解】A．由题意根据开普勒第三定律可知
火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得
故A错误；
BC．根据
可得
由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；
D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
故选CD。
2．（2021·福建·统考高考真题）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年。假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ ）
A．与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．在P点与Q点的速度大小之比
D．在P点与Q点的加速度大小之比
【答案】BCD
【详解】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率
且由题知，Q与O的距离约为，即
由此可得出a与c，由于是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；
B．根据开普勒第三定律有
式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对是围绕致密天体运动有
对地球围绕太阳运动有
两式相比，可得
因的半长轴a、周期，日地之间的距离，地球围绕太阳运动的周期都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；
C．根据开普勒第二定律有
解得
因a、c已求出，故可以求出在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；
D．不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有
解得
因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得
因a、c已求出，故在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。
故选BCD。
3．（2022·重庆·高考真题）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
【答案】BD
【详解】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误；
B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为
故B正确；
C．设空间站的质量为，其所受万有引力提供向心力，有
则地球的平均密度约为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，有
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
地表的重力加速度为
可得
即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，故D正确。
故选BD。
4．（2021·重庆·高考真题）2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（ ）
A．火星的平均密度是月球的倍
B．火星的第一宇宙速度是月球的倍
C．火星的重力加速度大小是月球表面的倍
D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的倍
【答案】AD
【详解】A．根据密度的定义有
体积
可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为
即火星的平均密度是月球的倍，故A正确；
BC．由
可知火星的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为
即火星的重力加速度是月球表面的重力加速度的，由
可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
故BC错误；
D．由万有引力定律
可知火星对“祝融号”引力大小与月球对“玉兔二号”引力大小之比为
即火星对“祝融号”引力大小是月球对“玉兔二号”引力大小的倍，故D正确。
故选AD。
5．（2020·江苏·统考高考真题）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A．由可知，甲的速度是乙的倍
B．由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由可知，甲的向心力是乙的
D．由可知，甲的周期是乙的倍
【答案】CD
【详解】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则
A．因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出甲乙速度的关系，卫星的运行线速度
代入数据可得
故A错误；
B．因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度
代入数据可得
故B错误；
C．根据，两颗人造卫星质量相等，可得
故C正确；
D．两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律，可得
故D正确。
故选CD。
二、单选题
6．（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．从P点转移到Q点的时间小于6个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；
B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由
可得
可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误；
故选C。
7．（2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（ ）
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
【答案】D
【详解】A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误；
B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；
C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；
D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。
故选D。
三、解答题
8．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据动能定理有
（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则
运动周期
根据开普勒第三定律，k为常量，得
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量
设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得
r2 = 4r1
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有
解得
由于恒星质量是太阳质量的2倍，得
9．（2021·福建·统考高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有
⑤
⑥
式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。
一、单选题
1．二十四节气是中华民族的文化遗产。地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示。下列关于地球绕太阳公转的说法正确的是（ ）
A．冬至时线速度最大
B．夏至和冬至时的角速度相同
C．夏至时向心加速度最大
D．可根据地球的公转周期求出地球的质量
【答案】A
【详解】A．由开普勒第二定律可知地球在近日点运行速度最大，在远日点速度最小，冬至时地球在近日点运行速度最大，A正确；
B．由开普勒第二定律可知相同时间内地球与太阳连线相同时间扫过的面积相同，因此相同时间转过角度不同，角速度不同，B错误；
C．夏至日距离太阳最远，引力最小，因此向心加速度最小。C错误；
D．可根据地球的公转周期能计算的是中心天体太阳的质量，D错误。
故选A。
2．如图所示，地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动。已知地球质量为m，地球的轨道半径为r，公转周期为T，太阳质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．根据以上信息，可以计算出地球表面的重力加速度
B．根据以上信息，可以计算出地球的第一宇宙速度
C．与M无关
D．对应物理量的单位与动能的单位相同
【答案】D
【详解】A．在地球表面有
解得
由于地球半径不确定，则不能计算出地球表面的重力加速度，A错误；
B．地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，则有
解得
由于地球半径不确定，则不能计算出地球的第一宇宙速度，B错误；
C．根据
解得
，
可知，与M有关，C错误；
D．根据
可知对应物理量的单位与动能的单位相同，均为J，D正确。
故选D。
3．空间探测卫星主要用于探测太阳风对地球空间环境的影响，近地点为几百公里，远地点为几万公里。如图所示两空间探测卫星A、B在同一平面内沿同一方向绕地球运行。则（ ）
A．卫星A的线速度大小大于卫星B的线速度大小
B．卫星A与地心连线在单位时间内扫过的面积与B与地心连线在单位时间内扫过的面积不相等
C．卫星A的半长轴三次方与周期二次方的比值比卫星B的小
D．卫星A的发动机短时间喷气一次，就能转移到卫星B的轨道上
【答案】B
【详解】A．卫星AB的轨道为椭圆，所以每一个点的速度大小不同，无法确定速度大小的比较，A错误；
B．根据开普勒第二定律，卫星AB在两个不同的椭圆轨道上运动，则卫星A与地心连线在单位时间内扫过的面积与B与地心连线在单位时间内扫过的面积不等，B正确；
C．根据开普勒第三定律可知，卫星A的半长轴三次方与周期二次方的比值与卫星B的相等，C错误；
D．卫星A的发动机短时间喷气一次，速度增大做离心运动，轨道会与原轨道加速点相切，D错误。
故选B。
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球半径为R，自转周期T，地球同步卫星离地高度约为地球半径的5.6倍，万有引力常量G，下列说法正确的是（ ）
A．同步卫星的运行速度大于
B．三颗同步卫星的向心加速度相同
C．据以上数据可计算地球质量约为
D．若地球自转周期变小，仍仅用三颗同步卫星实现上述目的，则地球自转的最小周期为
【答案】D
【详解】A．第一宇宙速度是航天器的最小发射速度、是航天器围绕地球运行的最大速度。同步卫星环绕速度一定小于，故A错误；
B．三颗同步卫星向心加速度大小相等，但方向不同，故B错误；
C．根据
得地球质量
故C错误；
D．刚好覆盖地球，则每颗卫星覆盖，可得轨道半径为地球半径的2倍，根据开普勒第三定律
可得
故D正确。
故选D。
5．神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，航天员陈东等顺利进入天和核心舱。已知地球半径为R，空间站在距离地面高度处做匀速圆周运动，同步卫星距离地面高度为空间站高度的90倍，地球自转周期为T。则空间站绕地运行周期为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设同步卫星距地面的高度为，空间站的周期为，则由开普勒第三定律有
可得
解得
故选A。
6．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在距地高度约的空间站里开讲，授课中地面传输中心调用两颗地球同步卫星“天链一号”03星和“天链一号”01星，为空间站提供天基测控和数据中继服务，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．空间站绕地球转动半周，所受万有引力的冲量为0
B．“天链一号”03星的线速度小于空间站的线速度
C．“天链一号”03星和空间站与地心的连线每秒扫过的面积相等
D．在空间站中的航天员可以用弹簧测力计测量小物块的重力大小
【答案】B
【详解】A．空间站绕地球转动半周，空间站的速度方向变为反向，根据动量定理可知万有引力的冲量为2mv，A错误；
B．“天链一号”03星为同步卫星，空间站离地高度仅仅为，根据高轨低速可知“天链一号”03星的线速度小于空间站的线速度，B正确；
C．根据开普勒第二定律可知，同一颗卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相同，所以“天链一号”03星和空间站与地心的连线每秒扫过的面积是不相等的，C错误；
D．在空间站中的所有物体均处于完全失重状态，所以航天员不可以用弹簧测力计测量小物块的重力大小，D错误。
故选B。
7．2020年7月23日，“天问一号”探测器成功发射，开启了探测火星之旅。截至2022年4月，“天问一号”已依次完成了“绕、落、巡”三大目标。假设地球近地卫星的周期与火星近火卫星的周期比值为k，地球半径与火星半径的比值为n。则下列说法正确的是（ ）
A．地球质量与火星质量之比为
B．地球密度与火星密度之比为
C．地球第一宇宙速度与火星第一宇宙速度之比为
D．如果地球的某一卫星与火星的某一卫星轨道半径相同，则两卫星的加速度之比为
【答案】A
【详解】AB．近地卫星环绕中心天体做圆周运动，万有引力提供向心力，则由
得
又
整理得
由以上可知
故A正确，B错误；
C．又由
得
则
故C错误；
D．如果环绕地球与火星的卫星轨道半径相同，则由
得
整理得
故D错误。
故选A。
二、多选题
8．如图所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ上处于平衡状态
B．卫星在a点的加速度大小为在c点加速度大小的4倍
C．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ周期的倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
【答案】BD
【详解】A．卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，合力不为零，不处于平衡状态，故A错误；
B．根据牛顿第二定律可得
可得
由于c点与地心的距离为轨道Ⅰ半径的2倍，可知卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍，故B正确；
C．由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为
根据开普勒第三定律
可得
故C错误；
D．卫星从轨道Ⅱ变到轨道Ⅲ需要点火加速，在变轨处动能增大，也就是机械能增大，而同一轨道机械能守恒，因此质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确。
故选BD。
9．如图所示，某航天器围绕一颗半径为R的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（ ）
A．行星的质量为
B．行星的平均密度为
C．行星表面的重力加速度为
D．行星的第一宇宙速度为
【答案】ABC
【详解】A．航天器围绕行星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得
故A正确；
B．行星的平均密度为
联立可得
故B正确；
C．根据黄金代换，可得行星表面的重力加速度
解得
故C正确；
D．行星的第一宇宙速度设为，则有
解得
故D错误。
故选ABC。
10．两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB．已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B的质量之比为1∶3
C．行星A、B的密度之比为1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
整理可得
题图乙中两条直线的斜率均为，选项A正确；
B．根据已知条件有
解得
选项B错误；
C．由题图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
两行星的密度满足
解得
选项C正确；
D．在星球表面
解得
选项D错误。
故选AC。
三、解答题
11．2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示。已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为，引力常量为G。试求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度；
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面的高度h。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）月球表面处引力等于重力
得
（2）第一宇宙速度为近月卫星运行速度，由万有引力提供向心力得
所以月球第一宇宙速度
（3）“嫦娥三号”卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力，得
卫星周期
轨道半径
联立解得“嫦娥三号”卫星离月球表面的高度为
12．在第73届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会授予2022年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以的初速度竖直向下做匀减速运动，经速度减为0。已知着陆器质量约为，火星表面重力加速度取，忽略火星自转，求：
（1）着陆器在动力减速阶段下降的距离h；
（2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小f；
（3）若火星的半径是地球半径的，地球表面重力加速度g取，求火星与地球的质量之比。
【答案】（1）3840m；（2）6240N；（3）1:10
【详解】（1）根据运动学公式，有
（2）动力减速阶段下降过程中的加速度为
根据牛顿第二定律，有
代入数据解得
（3）在地球表面，万有引力等于重力，有
在火星表面，万有引力等于重力，有
联立可得
13．2022年4月16日，圆满完成任务的三名中国航天英雄乘坐神舟十三号飞船从空间站顺利返回地面。如图所示，某颗卫星的返回回收过程可简化如下：轨道1是某近地圆轨道，其半径可近似看做等于地球半径，轨道2是位于与轨道1同一平面内的中地圆轨道，轨道半径为地球半径的3倍。一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨，先从椭圆转移轨道进入轨道1运行，调整好姿态再伺机进入大气层，返回地面。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略其他星体对该卫星的作用力，试求：
（1）该卫星在轨道1上运行的动能；
（2）经过多长时间该卫星在椭圆转移轨道上从轨道2上的A点运行至轨道1上的B点（A、B与地心在同一直线上）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在轨道1上，万有引力提供向心力
对地面上物体
该卫星在轨道1上运行的动能
联立解得
（2）在轨道2上，根据万有引力提供向心力，有
又
联立解得
转移轨道是椭圆轨道，其长轴
卫星在轨道2上的周期满足
又
设卫星在转移轨道的周期为，由开普勒第三定律可得
卫星在转移轨道的最短时间
联立解得
14．学习了万有引力定律，我们可以应用该定律测量地球的质量。
（1）已知近地卫星的周期为，地球的半径为，引力常量为，求地球的质量。
（2）上述方法只能测量地球的质量，如果测月球的质量，可以利用双星系统。在地月系统中，若忽略其它星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”，已知月球和地球绕其连线上某点转动的周期都为，月球、地球球心间距离为。求月球的质量[用（1）中的、、和、表示]。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设地球质量为，卫星的质量为，则有
（2）设地球质量为，月球和地球绕其连线上的O点转动，地球球心到点的距离为，月球质量为，月球球心到点的距离为，则有
又因为
联立解得
由（1）可知
解得月球质量
15．在人类的某次星际探测任务中，发现一个可能宜居的星球。为了更详细的了解该星球的情况，需要进行登陆探测。在登陆前，飞船先环绕该星球在半径为的圆轨道上做匀速圆周运动，为该星球的半径。某一时刻，飞船运行到A点，此时飞船将登陆器向反方向射出，但登陆器仍向前运动，并进入图示的内部椭圆轨道登上该星球表面，而飞船立即启动发动机进行调整，使其仍保持在圆轨道运行。登陆器在该星球表面探测一段时间后，重新点火加速沿原来的椭圆轨道回到脱离点实现对接。已知该星球的质量为，飞船的质量为，登陆器的质量为，且，忽略登陆器点火加速的时间，引力常量为。求：
（1）飞船在圆轨道上运行时的速度与周期的大小？
（2）飞船在反射出登陆器后，为保持在原轨道运行，飞船发动机对飞船做的功？
（3）登陆器可以在该星球上探测的时间？
【答案】（1）；；（2）；（3）
【详解】（1）飞船在圆轨道上运行时，根据万有引力提供向心力
解得
周期
（2）登录器在椭圆轨道运动时，根据几何关系，长轴、焦距、短轴分别为
设远“地”点和近“地”点的速度分别为、，周期为，根据开普勒第二定律
根据开普敦第三定律

解得
飞船反射出登陆器过程，根据动量守恒
解得
为保持在原轨道运行，飞船需要恢复到速度，飞船发动机对飞船做的功
（3）根据题意，登陆器可以在该星球上探测的时间即为
质
量
的
计
算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运
行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
密
度
的计
算
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
－
利用运
行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—