第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（含详解）

这是一份第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（含详解），共7页。
2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？
【分析】先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．
【解答】解：2005﹣600＝1405（年），
1492﹣1405＝87（年）．
答：这两次远洋航行相差87年．
2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
【分析】先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．
【解答】解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月的第四天，
那么一共经过了：11+31+4＝46（天），
46÷9＝5…1，
说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．
答：立春之日是六九的第1天．
3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
【分析】根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．
【解答】解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，
所以直三棱柱的体积＝×1×1×1＝．
答：这个直三棱柱的体积是．
故答案为：．
4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
【分析】可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到总情况数即可．
【解答】解：共有6种不同的入座方法．
5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
【分析】把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．
【解答】解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，
8.5÷（）
＝8.5÷，
＝40（千米）；
40×＝10（千米）；
40×＝1.5（千米）；
40+10+1.5＝51.5（千米）；
答：三项的总距离是51.5千米．
6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
【分析】观察图形，分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．
【解答】解：6﹣3＝3；10﹣6＝4；15﹣10＝5；21﹣15＝6；…
从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…
往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．
答：这列数中的第9个是55．
7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
【分析】根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可求解．
【解答】解：容器甲容积：V甲＝×π×（）2×1＝π；
容器乙容积：V乙＝×π×13＝π，
V乙÷V甲＝π÷π＝8．
答：至少要注水8次．
8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
【分析】可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+低年级组数＝41组解答即可．
【解答】解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：
＝41，
3x+2（100﹣x）＝246，
3x+200﹣2x＝246，
x＝46，
100﹣46＝54（人），
答：高年级有46人，低年级有54人．
9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
【分析】先将48分解质因数：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，因数全写出来，再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．
【解答】解：48＝48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；
答：零售价为6元．
10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
【分析】设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．
【解答】解：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则
5+8a＝8+5b即；
8a＝5b+3，
当b＝1时，a＝1，总人数为5+8×1＝13（人）；
当b＝9时，a＝6，总人数为5+8×6＝53（人）；
当b＝17时，a＝11，总人数为5+8×11＝93（人）．
数字再大就超过100了，所以最多有93人．
答：最多有93名同学．
11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
【分析】水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．
【解答】解：100﹣2.5×12＝70（毫升），
80+70＝150（毫升），
答：整个吊瓶的容积是150毫升．
12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
【分析】根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．
【解答】解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°＝150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°＝180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．
如图：
所以最多能画出六条．
答：至多有6条直线．