第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）（含解析）

这是一份第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）（含解析），共10页。试卷主要包含了填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
1．（10分）10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此都不相同，至少要 个乒乓球．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 km．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第 位．
5．（10分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 ．
6．（10分）如图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为 ．
7．（10分）数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”．
8．（10分）若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
10．（10分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
11．（10分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分．若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米．求六边形A1B1C1D1E1F1的面积．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
2010年第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此都不相同，至少要 173 个乒乓球．
【分析】不少于11，则盒中至少11个乒乓球，不能是13，也不能是5的倍数，则这10个盒子中的乒乓球，按最少的方法放，个数分别为11、12、14、16、17、18、19、21、22、23；所以至少需要多少个，把这十个数相加即可．
【解答】解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23＝173（个）；
答：至少要173个乒乓球；
故答案为：173．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有 19 种不同价格．
【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可．
【解答】解：共有25﹣6＝19（种）
故答案为：19．
3．（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 425 km．
【分析】根据题意，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20分钟（小时）共行：（90+60）×＝50千米，这50千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50÷（80﹣60）＝2.5小时，然后根据速度和×相遇时间＝两地之间的路程，列式解答．
【解答】解：20分钟＝小时，
A与C 20分钟相遇，共行（90+60）×＝50（ 千米），
这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，
显然A与B相遇时间等于50÷（80﹣60）＝2.5（小时）．
所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5＝425（ 千米）．
答：甲乙两站的路程是425千米．
故答案为：425．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第 5 位．
【分析】先求出这6个分数的平均值，然后通过排列，得出结果．
【解答】解：（+++++）÷6
＝[（++）+（++）]÷6
＝[1+]÷6
≈1.593÷6
＝0.2655；
＜＜＜＜0.2655＜＜．
所以这个平均数从小到大排列在第5位．
故答案为：5
5．（10分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 223 ，这些“好数”的最大公约数是 3 ．
【分析】题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个，即数列6、15、24、33、42、51….1005、2004，求出（2014﹣6）里面有几个9，再加上1，就是所有的好数；6和15的最大公约数就是这组数列的最大公约数．
【解答】解：（2014﹣6）÷9+1
＝1998÷9+1
＝222+1
＝223（个）；
6和15的最大公约数3，所以所有好数的最大公约数为3．
答：不超过2012的“好数”的个数为 223，这些“好数”的最大公约数是 3．
故答案为：223，3．
6．（10分）如图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为 32 ．
【分析】该立体图形的表面积＝上面的表面积+下面的表面积+正面的表面积+后面的表面积+两个侧面的表面积．
【解答】解：从上面和下面看到的面积为2×5×（1×1）＝10，
从正面和后面看面积为2×5×（1×1）＝10，
从两个侧后面看面积为2×6×（1×1）＝12，
故这个几何体的表面积为10+10+12＝32．
故答案为：32．
7．（10分）数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 3 张是卡片“3”．
【分析】此题要求最多有几张是卡片“3”，可用假设法分情况探讨，分以下几种情况：
①8张卡片全是3，②7张卡片是3，③6张卡片是3，…，直到符合要求为止．
【解答】解：若8张卡片全是3，则8×3＝24＜33，不符合要求，
若有7张卡片是3，则7×3＝21，剩下1张为33﹣21＝12，不可能，
若有6张卡片是3，则6×3＝18，剩下的2张和为33﹣18＝15，15÷2＞5，不可能，
若有5张卡片是3，则5×3＝15，剩下的3张和为33﹣15＝18，18÷3＝6＞5，不可能，
若有4张卡片是3，则4×3＝12，剩下的4张和为33﹣12＝21，21÷4＞5，不可能，
若有3张卡片是3，则3×3＝9，剩下的5张和为33﹣9＝24＝5+5+5+5+4，即取4张5，1张4，
综上，最多有3张卡片是3．
故答案为：3．
8．（10分）若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是 4 ．
【分析】根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算．
【解答】解：≈0.41
≈0.01548
≈0.00
≈0.00133
≈0.00063
…推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和，所以小数点后第一位为4．
故答案为：4．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
【分析】先将4×5的长方形黑白间隔染色，然后再将5个由4个1×1的小正方格黑白间隔染色，然后结合奇偶性判断即可．
【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板④之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而④盖住了3个或1个黑格，因此，由4个1×1的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符．
所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的4×5的长方形．
10．（10分）长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
【分析】要满足条件，L一定是8，12和18的倍数，所以先求出三个数的公倍数，和两两的公倍数，从而得出重叠的段数，然后在根据容斥原理解答即可．
【解答】解：假设L＝[8，12，18]＝72的K倍，即L＝72K．那么：
红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；
蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；
黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；
又知：[9K，6K]＝18K，重叠4段；[6K，4K]＝12K，重叠6段；[9K，4K]＝36K，重叠2段；
[9K，6K，4K]＝36K，重叠2段．
由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）﹣4﹣6﹣2+2＝28（段）；
或总点数为：（9+13+19）﹣5﹣7﹣3+3＝29（分点），所以共有28段．
那么，最短段为红线与黑线的距离：L÷72＝．
11．（10分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分．若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？
【分析】5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1＝10场．从计分标准看，有胜负的场次得3分，平局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低．假设全是3分，10场共计30分，每平局总分倒减1分．
由A、B、C、D的得分不难分析．
【解答】解：由题意得：
A＝1＝1+0+0+0
B＝4＝3+1+0+0＝1+1+1+1
C＝7＝3+3+1+0
D＝8＝3+3+1+1
从得分看至少3局平局，全部比赛总分30﹣3＝27（分），E队得分最多为27﹣1﹣4﹣7﹣8＝7（分）．
从得分看最多5场平局，全部比赛总分30﹣5＝25（分），E队得分最少为25﹣1﹣4﹣7﹣8＝5（分）．
答：E队至多得7分，至少得5分．
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
【分析】根据合数的概念，很容易判断出16424是合数，然后再判断1163是否是质数，方法见解答．
【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4…等等．
1163是质数，判断方法是：352＝1225，342＝1156，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米．求六边形A1B1C1D1E1F1的面积．
【分析】六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝六边形ABCDEF的面积﹣两个六边形中间夹圈部分的面积，由此求解．
【解答】解：根据容斥原理：
两个六边形中间夹圈部分的面积＝
（335×6+670）÷2
＝2680÷2
＝1340
所以：六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝2010﹣1340＝670
答：六边形A1B1C1D1E1F1的面积是670．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
【分析】由题目知，两位数虎威要满足：两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，有了这两个限制条件，依次进行试验即可得出结论．
【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+Y＝X×Y×K（K为整数）
①Y＝1
（K﹣10）X＝1
X＝1，K＝11
所以虎威＝11；
②Y＝2
（K﹣5）X＝1
X＝1，K＝6
所以虎威＝12；
③Y＝3
（3K﹣10）X＝3
无解；
④Y＝4
（4XK﹣10K）＝2
X＝2，K＝3
所以虎威＝24；
⑤Y＝5
（K﹣2）X＝1
X＝1，K＝3
所以虎威＝15；
⑥Y＝6
（3K﹣5）X＝3
X＝3，K＝2
所以虎威＝36
⑦Y＝7，同上方法讨论无解；
⑧Y＝8，同上方法讨论无解；
⑨Y＝9，同上方法讨论无解；
综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36．包 装 盒 价 格
礼
品
盒
价
格
1
3
5
7
9
2
3
5
7
9
11
5
6
8
10
12
14
8
9
11
13
15
17
11
12
14
16
18
20
14
15
17
19
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