第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（含详解）

这是一份第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（含详解），共10页。试卷主要包含了填空，解答下列各题，要求写出简要过程等内容，欢迎下载使用。
1．（10分）计算：2004.05×1997.05﹣2001.05×1999.05＝ ．
2．（10分）如图是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…．依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列，结果是012012012012012…阴影格子所组成的数字是 ．
3．（10分）等式：潮州54＝39×1市6恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是 ．
4．（10分）一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是 平方厘米．（π＝3.14）
5．（10分）甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴．如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了 米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了 米．
6．（10分）甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走．甲和乙到达B和A立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距 米．
二、解答下列各题，要求写出简要过程。（每题10分）
7．（10分）李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？
8．（10分）一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。
9．（10分）小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支．问她最多能买多少支？最少能买多少支？
10．（10分）在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法．例如图2和图3是相同类型的涂法．回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由．
11．（10分）三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
12．（10分）用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（如图）的表面积是多少？
第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷
参考答案与试题解析
一、填空（每题10分，如果一道题中有两个空，则每个5分）
1．（10分）计算：2004.05×1997.05﹣2001.05×1999.05＝ 1989.5 ．
【分析】此题数字非常接近，可通过数字拆分进行简算，把1997.05看作1999.05﹣2，运用乘法分配律简算．
【解答】解：2004.05×1997.05﹣2001.05×1999.05
＝2004.05×（1999.05﹣2）﹣2001.05×1999.05
＝2004.05×1999.05﹣2004.05×2﹣2001.05×1999.05
＝（2004﹣2001）×1999.05﹣2004.05×2
＝3×1999.05﹣2×2004.05
＝3×1999+3×0.05﹣2×2000﹣2×4.05
＝3×2000﹣3+0.15﹣2×2000﹣8.10
＝2000﹣3+0.15﹣8.10
＝2000+0.15﹣11.10
＝1989.05．
故答案为：1989.05．
2．（10分）如图是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，…．依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列，结果是012012012012012…阴影格子所组成的数字是 9 ．
【分析】根据微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以3得到的余数排成一列，结果是012012012012012…，判断出阴影中的数字为：6、1、5、9、4、2、12、7、8、6、10、11、9、13、5、3、7、14、…；涂出即可得出结论．
【解答】解：
答案：9．
3．（10分）等式：潮州54＝39×1市6恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是 728 ．
【分析】设三个数为abc，ab54＝39×1c6＝39×106+39×10c＝4134+390×c，对比两边，发现个位已相等，十位差2，则c×9的尾数应该是2，刚好在十位数，所以c＝8，由此代入可得a和b；据此解答．
【解答】解：设三个数为abc，ab54＝39×1c6＝39×106+39×10c＝4134+390×c，对比两边，发现个位已相等，十位差2，则c×9的尾数应该是2，刚好在十位数，所以c＝8；因为4134+390×8＝7254，所以ab是72；
所以，“潮州市”代表的三位数是728；
故答案为：728．
4．（10分）一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是 18.84 平方厘米．（π＝3.14）
【分析】由题意知，小圆盘运动过程中扫过的面积即是圆环面积的，可根据圆环的面积公式求得面积后乘，再加上小圆的面积即可．
【解答】解：4+1×2＝6（厘米）
3.14×（62﹣42）×+3.14×12
＝3.14×20×+3.14
＝15.7+3.14
＝18.84（平方厘米）．
答：小圆盘运动过程中扫出的面积是18.84平方厘米．
故答案为：18.84．
5．（10分）甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴．如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了 2.4 米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了 2.1 米．
【分析】3只蚂蚁都爬7.3米，距离相等，时间分别为6、7、8分钟，速度与时间成反比，那么它们的速度之比为：（V甲）：（V乙）：（V丙）＝：：＝28：24：21
第一轮他们分别向洞穴B，C，A爬去，同时到达，即所用时间相同，那么，所爬的距离与速度成正比，即距离之比为：（S甲）：（S乙）：（S丙）＝28：24：21
第一轮，3只蚂蚁爬行的距离也是7.3米，所以：
蚂蚁乙从洞穴B到C爬行了：7.3×≈2.4（米）
蚂蚁丙从洞穴C到A爬行了：7.3×≈2.1（米）
【解答】解：3只蚂蚁都爬7.3米，距离相等，时间分别为6、7、8分钟，速度与时间成反比，
那么3只蚂蚁的速度之比为：（V甲）：（V乙）：（V丙）＝：：＝28：24：21
所爬的距离之比也为：（S甲）：（S乙）：（S丙）＝28：24：21
蚂蚁乙从洞穴B到C爬行了：7.3×≈2.4（米）
蚂蚁丙从洞穴C到A爬行了：7.3×≈2.1（米）
答：蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了2.4米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了2.1米。
故答案为：2.4；2.1。
6．（10分）甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走．甲和乙到达B和A立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距 1680 米．
【分析】根据题意，可以设甲乙第一次相遇用X分钟，那么，第一次相遇，甲行了60X米、乙行了80X米；第二次相遇，甲走到B地，再到E处，走了第一次相遇时乙的路程的2倍，即走了80X×2米；乙走了60X×2米，但是甲比乙多用了14分钟，根据路程除以速度等于时间，列出方程进行解答即可．
【解答】解：设甲乙第一次相遇用X分钟，那么甲行了60X米、乙行了80X米；第二次甲行了80X×2米、乙行了60X×2米；
根据甲比乙多行14分钟，可得方程：
（80X×2）÷60﹣（60X×2）÷80＝14，
X﹣X＝14，
X＝14，
X＝12；
AB长是：12×（60+80）＝1680（米）．
答：A和B两地相距1680米．
故答案为：1680．
二、解答下列各题，要求写出简要过程。（每题10分）
7．（10分）李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？
【分析】利用李家的牛群中有67%是母牛，得出李家养牛数应当是100的倍数，王家的牛群中仅有是母牛得出，王家养牛数应当是13的倍数，由此分析数据，找出倍数，可以用算术方法与方程两种方法列式解答．
【解答】解：算术解法：
①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头；
②王家的牛群中有是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头．
方程解法：
①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程
100x+13y＝521．…（1）
②x和y是整数，分别取x＝1，2，3，4，5．可以得到x＝3，y＝17．
或者解同余方程（1）．
（1）式两边除13，
﹣4x＝1，Md（13）．…（2）
x＝3是（2）式的解，得到y＝17．
答：李家和王家各养了300头和221头牛．
8．（10分）一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。
【分析】先找出分母是7的真分数化成循环小数后循环变化的规律，然后再求出循环节的和，看2004里面有多少的个这样的和，还余几，根据余数判断。
【解答】解：＝0.142857…（6位小数循环），
＝0.285714…（6位小数循环），
＝0.428571（6位小数循环），
＝0.571428（6位小数循环），
＝0.714285（6位小数循环），
＝0.857142（6位小数循环），
不管是七分之几，循环节都是那几个数（142857），一个循环节的和是：
1+4+2+8+5+7＝27，
2004÷27＝74…6，
循环74次后，剩下的两位小数的和是6，
只有428571中，前两个数的和是6。
所以这个分数的循环节应该是：428571，
所以M＝3．
答：M的值是3。
9．（10分）小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支．问她最多能买多少支？最少能买多少支？
【分析】买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多；同理，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少．据此解答．
【解答】解：①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．
②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买（31﹣4﹣3）÷2＝12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2＝14（支）
③同理，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．
答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．
10．（10分）在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法．例如图2和图3是相同类型的涂法．回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由．
【分析】①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．
②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图左边）、外边中间的方格（图中间）和中心的方格（图右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
【解答】解：如图，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图左边）、外边中间的方格（图中间）和中心的方格（图右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
答：不同类型的涂法有3种．
11．（10分）三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
【分析】根据题意可分析连续3个正整数里面必有一个数能被3、4和5整除，所以所得到的“美妙数”中必含有约数3、4和5，再将所有的公约数相乘就可求出最大公约数．
【解答】解：①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因数3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因数4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因数5．
④上述说明“美妙数”都有因数3、4、和5，也就有因数60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．
另一方面，60＝3×4×5，60也是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．
答：所有的美妙数的最大公约数只能是60．
12．（10分）用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（如图）的表面积是多少？
【分析】（1）①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z＝455，分解455＝5×7×13，即：x×y×z＝5×7×13；②沿棱拆下的小正方体有455﹣371＝84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为（x﹣1）个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y﹣1）个，而从每个“高”边拆下的小正方体为（z﹣2）个，应当有下面关系式：4×（x﹣1+y﹣1+z﹣2）＝84，x+y+z＝25，剪出求出x、y、z的正整数解即可解答问题；
（2）如图，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×（11×5+11×3+5×3）＝206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×（11+3+5）＝152．把这两部分面积加起来即可解答．
【解答】解：（1）①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z＝455，分解455＝5×7×13，即：x×y×z＝5×7×13；
②沿棱拆下的小正方体有455﹣371＝84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为（x﹣1）个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y﹣1）个，而从每个“高”边拆下的小正方体为（z﹣2）个，应当有下面关系式：4×（x﹣1+y﹣1+z﹣2）＝84，x+y+z＝25，
既然x，y，z只取正整数，验证x＝13，z＝7，y＝5是唯一解．
答：所粘成的大长方体的棱长分别是13、7、5．
（2）第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×（11×5+11×3+5×3）＝206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×（11+3+5）＝152．
206+152＝358
答：这个长方体的表面积是358．