江苏省苏州中学2025-2026学年高二上学期质量评估（1月月考） 数学试卷含解析（word版）

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本试卷满分150分，考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸相应位置.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知随机事件满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 经过与的交点且垂直于的直线方程是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
4. 已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（ ）
A. 2020B. 2022C. 2023D. 2025
8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全分，有选错的不得分，部分选对的得部分分.
9. 某同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数为9B. 这组数据的40%分位数是7.5
C. 这组数据的极差是4D. 这组数据的标准差是
10. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列是递减数列B. 当时，最大
C. 使得成立的最小自然数D. 数列中的最小项为
11. 函数的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A，B，C是双曲线H：上三个不同的点，则（ ）
A. 双曲线H的离心率为2
B. 直线与坐标轴交于M，N，与H交于P，Q，则
C. 的垂心（三高线的交点）在H上
D. 若是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在的外接圆上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数据的方差与数据的方差相同，则___________
13. 已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}前n项和，则 ________．
14. 已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的众数和平均数；
（3）若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？
16. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.
（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间；
（2）分别求事件A，B，C发生的概率；
（3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率.
17. 已知直线，该直线与圆交于两点，且.
（1）求的值；
（2）直线，
（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求过点且与圆相切的直线方程.
18. 记数列,的前项和分别为,,,（且），当时,有.
（1）证明:数列为等比数列；
（2）若,当.
①求通项公式；
②设是正整数,问是否存在,使得等式成立,若存在,求出和的值；不存在请说明理由.
19. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设斜率存在直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若.
（i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围.