山东省青岛市2025-2026学年高一上学期2月期末测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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2026.02
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若命题，，则为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：（其中表示经过的时间，表示当时的人口数，表示人口的增长率），2025年5月联合国经济和社会事务部下属的人口司宣布，全球人口总数将于2025年底达到80亿，2100年底达到100亿．则2025年底到2100年底这段时间内的人口增长率约为（ ）（，）
A. B. C. D.
7. 已知，，则的值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，若实数满足，则的最小值为（ ）
A 5B. C. 4D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B. C. D.
10 已知，，则（ ）
A. B.
C. 的增区间为，D. 有4个零点
11. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的图象关于点对称B.
C. 的图象关于直线对称D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个定义域为，且单调递增的奇函数______．
13. 已知，，，则______．
14. 已知，对，有恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. （1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式；
（2）求的值．
17. 某型号电动汽车配备智能续航预估系统．系统根据实时车速（千米／小时）与路面状况，计算出一个低电量警报阈值距离（千米）．当系统估算的剩余可行驶距离低于时，将向驾驶员发出低电量警报．为以下四项阈值的总和：基础阈值、匀速行驶阈值、车载设备阈值、风阻与滚动阈值．其中风阻与滚动阈值与车速的平方成正比，且受路面系数影响（与路面坡度、粗糙度有关，满足）．当车辆以不超过90千米／小时的速度匀速行驶时，各部分的阈值距离如下表所示：
（1）请写出与的函数关系式．若某次行驶中，当系统恰好发出低电量警报，求车辆剩余可行驶的最短时间．
（结果精确到0.01，参考数据）
（2）要求在复杂路面条件下，均不超过60千米，求车速的最大值．
18. 已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接．设．
（1）若，求；
（2）求取得最大值时的值；
（3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，求的值域．
参考公式：
19. 函数定义域为，对于，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）若．证明：
（ⅰ）；；
（ⅱ）当时，；当时，．
阈值
基础阈值
匀速行驶阈值
车载设备阈值
风阻与滚动阈值
距离（千米）