山东省青岛市2025-2026学年高二上学期期末测试数学试卷含解析（word版）

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2026.02
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过、两点的直线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线的斜率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，经过、两点的直线斜率为.
故选：B.
2. 等差数列中，，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求解.
【详解】由等差数列的性质可得，
所以.
故选：C.
3. 圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程的半径公式进行求解即可.
【详解】由，
所以该圆的半径为.
故选：B
4. 已知，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选：D
5. 已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】，
所以，设点的纵坐标为，
因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，
所以.
故选：B
6. 一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先建系求出抛物线的标准方程，再写出抛物线的焦点坐标，再求出信号接收器与抛物线顶点的距离.
【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为
接收天线的口径为，深度为，则抛物线上有一点的坐标为，代入抛物线方程中，解得，.
所以信号接收器与抛物线顶点的距离为.
故选：D
7. 若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求出和的关系，再结合双曲线的性质求出离心率.
【详解】由双曲线，得渐近线方程为，又已知双曲线渐近线方程为，所以.
.
故选：A
8. 设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．已知等差数列的首项，公差，且是“H数列”，则数列的前9项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据等差数列的通项公式和前项和公式，结合“H数列”的定义求出公差，进而得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出前9项的和.
【详解】已知等差数列的首项，公差，
则，，
是“H数列”， 对任意正整数，总存在正整数，使得，
，
整理得，
因为为正整数，所以必须是整数，
，所以，
所以，
，
设数列的前项的和为，
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. （多选题）在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，则（ ）
A. B.
C. D. 直线与所成角为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于选项A，根据向量相等的定义判断；对于选项B，根据向量加法的三角形法则判断；对于选项C，利用向量模的计算公式计算；对于选项D，根据异面直线所成角的定义，通过向量的夹角公式计算直线与所成的角.
【详解】
对于选项A，平行六面体中，与大小相等，但方向相反，所以，A选项错误；
对于选项B，，因为，所以，B选项正确；
对于选项C，,
所以
,
所以，即，C选项正确；
对于选项D，因为，所以，
，
，
所以，
因为异面直线所成角的范围为，所以直线与所成角为，D选项错误.
故选：BC
10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（ ）
A.
B.
C. 数列是等差数列
D. 若对任意恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】ABC选项，先得到从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，周长是前一个图形周长的，从而由等比数列求通项公式可得，，又，故是等差数列；D选项， 变形得到，设，得到当时，，当时，，当时，，所以最大值为，，D正确.
【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，
边长为前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的，
AB选项，是以为首项，公比为4的等比数列，
所以，，，A正确，B错误；
C选项，是以为首项，公比为的等比数列，
所以，故，
所以，
所以为等差数列，C正确；
D选项，对任意恒成立，
故，设，
当时，，
当时，，
显然，，
当时，，即，，，
当时，，即，，，
当时，，，，，
所以取得最大值，最大值为，则，D正确.
故选：ACD
11. 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图，某卡西尼卵形线过坐标原点、且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则（ ）
A.
B. 上的点的纵坐标的最大值为
C. 围成的封闭图形的面积不超过
D. 直线与只有一个交点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A项，考虑原点在曲线上，即可求出；对于B项，研究曲线的方程，应用余弦定理变形，由二次函数的最值即可判断命题的正误；对于C项，研究曲线与的关系，结合曲线的范围可判断封闭图形的面积与的大小关系；对于D项，联立方程，研究方程组的解得情况即可.
【详解】对于A项，因为曲线过坐标原点，
所以,所以，
又因，所以，故A正确；
对于B项，由A项可知曲线满足的方程为，
设，（如图所示），
由余弦定理可知，，
所以，所以，
而，
所以，所以，即，故B错误；
对于C项，由知，
，所以，
当时，所以，所以.
下面研究曲线在第一象限内的面积，先研究直线与曲线的关系，
因为曲线的方程可以化为，
将代入化简可得，
显然直线与封闭曲线在第一象限无交点，
所以在第一象限内，直线在封闭曲线的上方，
因此在第一象限内曲线与轴围成的面积小于直线，直线，直线与轴围成直角梯形的面积，
且该直角梯形的面积为.
又因为曲线分别关于轴，轴和原点对称，
所以曲线围成的封闭图形的面积不超过，故C正确；
对于D项，将代入曲线的方程，
化简整理可得，，
当时，方程无非零解，直线与曲线仅交于原点；
当时，方程仅有四重根，仍然仅交于原点.
故直线与只有一个交点时，实数的取值范围是.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若圆与圆相交，则的一个取值为______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可得到不等式组，从而求出的取值范围，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径；
又点与的距离，
因为圆与圆相交，
所以，即，即，解得；
所以的取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
13. 是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解.
【详解】因为，且，
由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得，
因此.
故答案为：.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆的切线长定理，结合内心的性质、双曲线的定义、三角形中位线定理进行求解即可.
【详解】设各边的切点为，
由圆的切线长定理可知，
由双曲线的定义可知：
，
因为，
所以，所以为双曲线的右顶点，
显然， 的横坐标为2，所以，
设过作直线的垂线交于，
因为点是内心,且 ，
所以，且是的中点，
所以，
由双曲线的定义可知：，
所以.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知圆过点，，．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）应用圆的一般方程，通过待定系数法即可求解；（2）根据圆的弦心距，半径与弦长的关系求解即可.
【小问1详解】
设圆的方程是，
将的坐标代入方程得．
解得，所以的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，即，解得，
当直线的斜率不存在时，方程为，符合题意．
当直线的斜率存在时，设，
所以，解得．
此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
16. （1）设等比数列的首项为，公比为，写出的前项和的公式及其推导过程；
（2）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，其余垃圾以填埋方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，求从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式．
【答案】（1）或，过程见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用错位相减法进行求解即可；
（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】解：（1）或，
推导过程如下：当时，①
用公比乘①的两边，可得②
两式相减得，即．
因此，．
当时，，
综上，,
因为 ，所以．
所以，或.
（2）设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，．
．
17. 如图，在正四棱锥中，，分别为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求证：四点共面；
（3）点均在球的球面上，求的表面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，再求出直线方向向量与平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解；
（2）法一：与平面的法向量垂直，又因为点平面，即可得证；
法二：写出的坐标，注意到，根据空间向量共面定理，即可判断；
（3）设球心，由以及空间中的两点间距离公式列出方程，解得，继而确定球的半径，再运用球的表面积公式即可得解.
【小问1详解】
连接交于点，连接，则平面，
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，，，，，
因为分别为中点，所以，，
因为为靠近点的三等分点，所以，
因为，，．
设平面法向量，则
即，取．
设直线与平面所成角，则
．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
解法一：
因为，平面的法向量，
所以，又因为点平面，
故点在平面中，即四点共面．
解法二：
因为，，，
所以．
所以四点共面．
【小问3详解】
设球心，由得，
解得．
设球的半径为，则，
所以，所以球的表面积为．
18. 已知椭圆经过点，焦距为4，过右焦点的直线交于异于左右顶点的两点，为的中点，为原点，直线交直线于．
（1）求的方程；
（2）求的大小；
（3）当取得最大值时，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解；
（2）设直线的方程，并与椭圆方程联立，求证当直线斜率存在时即可；
（3）利用弦长公式以及基本不等式求出的最值，根据取等条件求出，最后利用面积公式计算.
【小问1详解】
由题意可得，解得，．
所以的方程为．
【小问2详解】
法1：由题意可知，，直线的斜率不为，
故设直线方程为，，，
由，可得，
则，，
则，得，
所以，
所以所在直线方程为．
令，得，即，则，
则当时，；
当时，不存在，，
综上所述，．
法2：由题意可知，，直线的斜率不为，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，
由，可得，
，．
所以．
因为的中点为，所以．
所以的斜率为，直线的方程为．
因为直线交直线于，所以．
故直线的斜率为，即得．
因此与垂直，所以，
当直线的斜率不存在时，易知，所以的大小为．
【小问3详解】
法1：
．
令，则，
所以．
当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为．
此时，，．
由（2）可知，，则．
所以当取得最大值时，的面积为．
法2：当直线的斜率存在时，由（2）可知
．
令，则
．
因为，所以，
所以当，即时，最大，最大值为．
当直线的斜率不存在时，，，
，所以的最大值为．
此时，，所以，，
由（2）可知，，．
所以当取得最大值时，的面积为．
19. 已知函数，数列满足，，．
（1）当时，求；
（2）若为等差数列，求的取值构成的集合；
（3）将（2）中集合的元素从小到大排序，取其前个数（为偶数），再重新排序后得到新数列：．记，求的最大值．
【答案】（1）13. （2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题目数列递推关系式逐项求解即可；
（2）利用等差数列基本量的运算及正弦函数性质可得，，进而有，令，即可得证；
（3）先用反证法证明：值最大时，中不存在连续3项递增或递减，然后将数列中的数分成2组：，，中的每个数都小于中的每个数，则．为了使得取得最大值，只需，即可．所以，即可求解.
【小问1详解】
时，，，
由得，，
．
【小问2详解】
依题意，，而，则，
，因为数列为等差数列，且，
所以，即．
所以，，从而，．
同样地，，，所以．
令，因为，所以，，
所以．
【小问3详解】
由（2）知，．根据对称性，不妨先设，
首先证明：值最大时，中不存在连续3项递增或递减，
假设中存在连续3项递增或递减，
即存在，使得或，
，
则将调换到之前，得到数列：，
此时，
，与最大矛盾，所以假设不成立．
因此设，最大时，必有，，，，
将数列中的数分成2组：，，
中的每个数都小于中的每个数，
所以
．
为了使得取得最大值，只需，即可．
所以．
当且仅当，，，
时取到“等号”，
所以的最大值为．