湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期2月质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期2月质量检测数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3.已知向量 满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．96B．98C．100D．102
5．已知函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆的对称轴为B．的最大值为
C．椭圆的离心率为D．n的最大值为
7．，，使得恒成立，则整数的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知数列的前n项和为，满足，，则可能同时为整数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
二、多选题
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则中至少有一个为0
C． D．若，则
10．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（ ）
A． B．
C． D．若，则与互斥
11．（多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（ ）
A．过点有四条直线与、所成角均为
B．平面
C．棱上存在点，使平面平面
D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为
三、填空题
12．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则____________．
13．如图，三棱锥中，，，，，，.点Q在棱上且，则直线与平面所成的角是____________.
14．如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则____________.；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则____________．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，.
(1)若平面平面，求证：平面；
(2)若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角.
17．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
18．已知圆的圆心在抛物线上，且圆与抛物线的准线相切.如图，过抛物线上的三个不同点(在之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)当点的横坐标为4时，以为直角顶点，作抛物线的两个内接及，求线段的交点坐标.
19．已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数
①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；
②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：．
襄阳四中2026届高三下学期质量检测A答案
一选择题
1．A【详解】由，则,
故若，则，不等式无解，此时,符合题意，
当时，，
结合，则，解得，综上可得，故选：A
2．B【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，因为，，则，，
因为圆锥顶点到直线的距离为，所以，因为圆锥底面半径，故，又，所以为等腰直角三角形，为斜边，
因为为线段的中点， 故，因为平面，平面，，，在中，，
在中，，所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为.故答案为：.
3．C【详解】如图所示，设向量，作向量，
因为，所以四边形是边长为2的菱形，且，再作，则，所以点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值，所以取得最大值.
4．D【详解】由点在圆上运动，设，所以
，显然的最大值、最小值分别为57和45，
所以的最大值与最小值之和为102.
5．D【详解】函数的图象上存在关于轴对称的点，则与，在有交点，即在有解，可转化为在有解，令，，
则，故函数在上单调递增，
，且时，，所以，则，
又恒成立，即，，则，.故选：D.
6．C【详解】设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为，由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确；对于B，，则，
故，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由A可知：是的两条对称轴，令，则，解得，令，则，解得，故长半轴轴长，短半轴长，故离心率为，故C错误；对于D，由可将其看作是关于的方程，且该方程有实数根，故，故，因此n的最大值为，故D正确；故选：C.
7．B【详解】由得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，时，,在同一直角坐标系中画出与的图象，当时，取，则即即，故在上恒成立，但当时，，
故不成立，若，在上为增函数，
在上为减函数，而，，
故在上仅有一解，此时取，结合图象可得恒成立，所以整数的最小值为1.故选：.
8．D【详解】依题意，由，不等于0，，可得：
当时，，，
对于A，，，，，
则，，因为数列的每一项都不等于0，不是整数，
不可能同时为整数，和不可能同时取整数，故A错误；
对于B，，则，，
因为数列每一项都不为0，且不为负整数，不可能同时为整数，
和不可以同时取整数，故B错误；对于C，，，
则，，因为数列每一项都不为0，且不为负整数，
不可能同时为整数，和不可以同时取整数，故C错误；对于D，，则，，当为负整数时，和可以同时取整数，故D正确；
9．BCD【详解】对于A,若，满足，但，故A错误，
对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，对于C，，C正确，对于D，设，,故，故，，故D正确，
10．BCD【详解】对于A，A与B相互独立，则,
，故A错误；对于B，因为与互斥，所以，所以，所以，，
所以,故B正确；对于C，因为与互斥，所以，所以，所以所以，故C正确；
对于D，显然，即，
由，得，
解得，所以与互斥，故D正确.故选：BCD
11．ACD【详解】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点的直线，如图，直线是的平分线，即，在过直线且与平面垂直的平面内．把直线绕点旋转，旋转过程中始终保持该直线与的夹角相等，
旋转到与平面垂直位置时，直线与的夹角为，因此中间必有一个位置，使得夹角为，以为旋转中心，点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样点
（如图，点在的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线，由于夹角为，这四条直线不重合，再过作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确，
选项B，因为平面，平面，所以，因此是直角梯形，，则，但，因此与不垂直，从而与平面不垂直，B错；选项C，如下图，由，得，
又，即得，
所以，又平面，平面，所以平面，过作交于点，是平行四边形，，点在线段上），同理可得平面，又是平面内两相交直线，所以平面//平面，C正确；选项D，因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，
而平面，所以平面平面，
过作，垂足为，由面面垂直的性质定理得平面，
在直角梯形中，，所以在直角中，，，与平面所成角的正切值为，即，所以，因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确．
12．【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为，
删去后有9个数据，，则第百分位数，
依题意可得，解得．故答案为：
13．【详解】由可得,
由，可得,故如图，将底面补成矩形ACBD，连PD，因为,所以,又,,所以平面，可得,
同理可得平面,,又
所以PD底面ACBD ,作QE PD交BD于点E，连CE，则么QCE就是直线CQ与平面ABC所成的角，因为，
所以,求得QE= , ，
所以，故，即直线CQ与平面ABC所成的角是.故答案为：
14． 【详解】设第一行公差为，各列的公比为且，且，
则，，，，所以，则，由各项均为正数，故，则，即，综上，，故，
由上，前n项为，且，
故在之前共有项，则，则，
综上，前70项为，
.故答案为：；
15．(1)(2)【详解】（1）由余弦定理得，分
又，故，
所以，又，所以，故而分
（2）由，知或分
又或，所以只可能是或，分别解得或（舍去），分
故只有如图情况，即在线段上，且，故，，于是，，即，故分
16．【详解】（1）因为平面，平面，所以，，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，分
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以，
又因为平面，所以平面... 分
（2）以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，分
设，则，设平面的法向量为，则有，取，则，分
，则与平面的夹角的正弦值为，设，分
则，当时，取得最大值，所以的最大值为，分
所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为分
17．(1)(2)（i）分布列见解析，；（ii）
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．分
即，，所以，因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为分
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，，，分（算对一个概率1分）
随机变量的分布列为：
所以的数学期望分
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，由题意知：，分
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，所以
分
令，由得，，分
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.所以当时，每箱产品利润最大分
18．(1)圆的方程为，抛物线的方程为
(2)存在，使得，理由见解析(3)
【详解】（1）圆的圆心，因为圆心在抛物线上，所以，即，因为圆与抛物线的准线相切，所以，
解得，分
，所以圆的方程为，抛物线的方程为；分
（2）存在常数，使得，理由如下，设，，
则在点处的坐切线方程为，即，
在点处的坐切线方程为，即,分
由，解得，所以，同理可得，，
，，分
，，
所以，分
，，
可得，
所以存在，使得；分
（3）因为、是抛物线的两个内接三角形，所以直线的斜率存在且不为0，当点的横坐标为4时，代入得，所以，
设，由为直角顶点，设，则，
则直线的方程为，与联立得
，则,分
，可得，同理可得，
所以直线的方程为，
整理得，即，分
设，则， 则直线的方程为，与联立得
，则,
，可得，同理可得， 分
所以直线的方程为，整理得，由得，所以的交点坐标为分
19．【详解】（1）函数的定义域为R，求导得：，
当时，恒成立，函数在R上单调递增分
；当时，令，解得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
函数的单调增区间为，单调减区间为分
综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；分
（2）①设三点的横坐标成等差数列，
且满足，则，又由，，
则，，分
分
令，则，令，求导得，
在内单调递增，，即，因为，，所以，即函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，所以当时，是其定义域上的“等差偏移”函数；分
②由，当时，，分
设，求导得，当时，，则在内单调递增， ，，符合题意，分
构造函数，求导得，在内单调递增，则，分
当时，，，，分 ，即，得分
，即，
．分0
1
2
3