湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学检测数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数 z 满足，则（）
A. B. C. 4 D. 8
3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（
）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心
率为（）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若，则的值为（）
A. B. C. D.
6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（）
A B. C. 0 D. 40
7. 古代中国太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代
哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为 O，若
，则（）
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A B. C. 2 D.
8. 数列的前 n 项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（）
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（）
A 若，，则
B. 若，，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交
点，则下列说法正确的是（）
A. 若，则直线的斜率为 B.
C. ( 为坐标原点) D. 当取最小值时，
11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（）
A. B. 角的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知随机变量，若，则实数 a 的值为________．
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13. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为
__________.
14. 若函数满足在定义域内的某个集合 A 上，对任意，都有是一个常数 a，
则称在 A 上具有 M 性质．设是在区间上具有 M 性质的函数，且对于任意
，都有成立，则 a 的取值范围为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角满足．
（1）求；
（2）若外接圆半径为 2，且，求的面积．
16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一
点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
17. 如图，四棱锥中，平面，，．
（1）作点在平面内的射影，写出作法及理由；
（2）若，，且，求二面角的正弦值．
18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等
于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
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（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，
方差，则对任意正数，均有成立．
（i）若，证明：；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂
声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合
格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于 0.05 时，可称事件为小概率事件）
19. 已知函数 .
（1）当时，求证：函数有唯一极值点；
（2）当时，求在区间上的零点个数；
（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂
直的“合一切线”，求的值.
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