【九上RJ数学】安徽阜阳市颍州区2025-2026学年数学（人教版）九年级上学期期末试题卷

这是一份【九上RJ数学】安徽阜阳市颍州区2025-2026学年数学（人教版）九年级上学期期末试题卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题， 21.综合实践.等内容，欢迎下载使用。
如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ACB 等于()
A.
B.
注意事项：
满分150分,时间为120分钟.
本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”
上答题，在“试题卷”上答题无效.
范围:第21~28章.
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
方程(x-1)²=9的解是()
A. x₁=4,x₂=2B. x₁=-4,x₂=2C. x₁=4,x₂=-2D. x₁=-4,x₂=-2
如图, PQ 是△ ABC 的中位线,点M 是PQ 的中点,连接CM 并延长,交AB 于点 N, 则等
于()
A.
C.
已知△ABC的三边长分别是2，4，5，则与△ABC相似的三角形的三边长可能是()B.D.
A.6,12,15B. 4 , 8 , 5C. 3 , 5 , 6D. 3 , 4 , 5
在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边 BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为()
A.1
B.
C.
D.
4.2026北京图书订货会于2026年1月 10日在中国国际展览中心(朝阳馆)圆满落幕.1月8日至1月
10日活动期间，入场观众超过10万人次.假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率.设进馆人次的每天减少率为x， 依题意可列方程为( )
B.4(1-x)+4(1-x)²=10
D.4+4(1-x)+4(1-x)²=10
5.将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式是()
C. y=-5(x+3)²+3D. y=-5(x+3)²-3
如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点分别为O(0,0),A(4,3),B(3,0)。以点O为位似中心,在第
三象限内将△OAB 按相似比 缩小，得到△OCD，则点C 的坐标为( )
如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B 作x轴的平行线交反比例函数和于C,A 两点,则△ CAO的面积是()
A.3B.1.5C.6D.7
数学(人教版)九年级卷四 试题卷第 1页(共4页)
如图,AC⊥BD,垂足为点C,AC=6,BC=4,点M是平面内的一个动点,且满足∠MAC=∠MCD,则线段BM的最大值为()
A.10B.8
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.若则△ABC 是三角形.
在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩.某学校墙上的爬山虎树叶蕴含着一种数学美：黄金分割.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP 的长度为6cm，那么AB的长
中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB CD. 若点O到AB的距离为10 cm， 点 O到 CD的距离为15 cm， 蜡烛火焰AB 的高度是2.4 cm， 则蜡烛火焰倒立的像CD 的高度是 .
如图，已知二次函数. 的图象与x轴交于点 M(-1,0),N(3,0),与y轴交于点P(0,3),点
Q是对称轴上一动点.
mn=.
当△PMQ 的周长最小时,则
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
如图,在△ABC和△AED 中,AB·AD=AC·AE,∠BAD=∠CAE.求证:△ABC∽△AED.
数学(人教版)九年级卷四 试题卷第2页(共4页)
x
……
0.5
1
2.4
3
y
…
24
12
5
4
已知反比例函数的关系如右表所示.
求反比例函数的表达式.
判断点A(-2，-6) 是否在该反比例函数的图象上.
四、( 本大题共2 小题， 每小题8 分， 满分16 分)
一个不透明的袋子中装有5个小球，分别标有数字-2，0，2，3，4，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀.
从袋子中随机取出1个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是 .
从袋子中随机取出1个小球不放回，记小球上的数字为m，摇匀后再从剩下的小球中随机取出1个小球，记小球上的数字为 n.将有序数对(m，n)记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，用列表法或画树状图的方法求得到的点坐标在第四象限的概率.
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为A(-4，6)，
B(-8,2),O(0,0).
求作将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△ A'B'O.
求(1)中线段AB扫过的面积.
五、( 本大题共2 小题， 每小题10 分， 满分20 分)
阅读材料，并解答下列问题.
时
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如，在计算 ，可构造如图1 所示的图形.在 Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°, 设AC=x(x>0), 延长CB至点 D, 使得
连接AD, 易知∠D=15°,CD=BD+BC=AB+BC=2x+ x，所以
如图1，请根据上面的步骤，完成tan15°的计算. (2)用这种方法计算图2中 tan22.5°的值.
如图,已知一次函数y= ax-b(a≠0,b≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于点 M(1,6), N(-3,n), 与x 轴交于点 C, 连接OM,ON.
求k,b,n 的值.
求△ OMN的面积.
数学(人教版)九年级卷四 试题卷 第3页(共4页)
六、(本题满分12分) 21.综合实践.
定义:如图1,AB 是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,AD是⊙O的切线,则∠DAC 叫作弦切角,
【探究】根据上述条件,求证:∠DAC=∠B.
【猜想】如图2，在⊙O中，试猜想(1)中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由，
【应用】试用(2)中的结论解决下列问题：如图3，在⊙O中，AB，AC是⊙O的弦，且
DB=6.求 BC 的长.
七、(本题满分12分)
如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点A，B，C，P在同一平面内.当无人机距离地面的高度为 时，测得李亮所在位置A的俯角为60°，楼顶C的俯角为30°，点A 到大楼BC的水平距离为100m.(参考数据： 结果精确到0.1 m) (1)若无人机与李亮的距离在180m内是遥控器的可控范围，此时无人机是否在可控范围内?请说明
理由.
若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点A 向点 M移动多少米?
求大楼 BC的高.
八、(本题满分14分)
【温故知新】如图1，在中,∠BAC=90°,AB=AC,PQ过点A,BP⊥PQ,CQ⊥PQ,垂足分别为点
P,Q,易证: (不必证明)
【初步感知】(1)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,PQ过点A,BP⊥PQ,CQ⊥PQ,垂足分别为点 P,Q,
求证：
【探究应用】(2)如图3,在△PBQ中,.，点A为PQ上一动点(点A不与点 P，Q重合), AC交BQ于点 C.
①求证：
②若为等腰三角形，CQ的长为多少?
数学(人教版)九年级卷四 试题卷第 4页(共4页) 数学(人教版)九年级卷四
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
C
D
B
C
A
B
M ＇
O
10.解析：如图,∵∠MAC=∠MCD,AC⊥BD，
∴∠MCD+∠MCA=90°,∠MAC+∠MCA=90°，
∴∠AMC=90°，
即点M在以AC为直径的圆上，
第10题图
取AC的中点O,连接BO并延长交⊙O于点M＇，
B,O,M＇三点共线,此时BM＇的值最大,
在Rt△OBC中，
∵AC=6,BC=4,∴OC=3.
∴OB==5,
∴BM＇=BO+OM＇=5+3=8,即BM的最大值为8,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.直角 12.9.7 cm 13.3.6 cm
14.(1)-6 (2)
解析：(1)由题意,得
解得
∴mn=-6.
(2)设直线PN与直线h交于点Q＇,
∵点M与点N关于对称轴h对称，
Q＇
第14题图
O
∴当点Q运动到点Q＇时,连接MQ＇,此时△PMQ＇的周长最小.
设直线PN的表达式为y=kx+b，
由题意,得解得
∴直线PN的表达式为y=-x+3.
∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴此抛物线的对称轴为h=1,
∴点Q＇的坐标为(1,2)，
∴PN=,
MQ＇.
∴当△PMQ的周长最小时,.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.证明：∵AB·AD=AC·AE,
∴. 分
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 分
即∠BAC=∠EAD,
∴△ABC∽△AED. 分
16.解：(1)设反比例函数的关系式为(k≠0), 分
由表可知x=1,y=12,
∴,k=12. 分
∴反比例函数的表达式为. 分
(2)当x=-2时,. 分
∴点A(-2,-6)在反比例函数的图象上. 分
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.解：(1). 分
(2)
∴点坐标在第四象限的概率为：P=. 分
1 2 3 4 5 6 7 x
-8-7-6-5-4-3-2-1O
8
7
6
5
4
3
2
1
A
B
y
第18题图
-1
-2
B＇
A＇
18.解：(1)如图.
分
(2)由图可知，
OB=,OA=，
线段AB扫过的面积为S扇形BOB＇-S扇形AOA＇=. 分
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.解：(1)tan D=,
∴tan 15°=. 分
(2)延长CB到点D,使BD=BA,
∵∠ABC=45°,AB=DB,
∴∠D=∠DAB=22.5°．
令AC=x,则BC=x,AB=,
∴BD=AB=,
∴CD=CB+DB=x+．
在Rt△ACD中,tan D=,
即tan 22.5°=． 分
20.解：(1)∵把点M(1,6)代入,得k=1×6=6,
∴.
把N(-3,n)代入,得,
∴点N的坐标为(-3,-2),
把点M(1,6)和点N(-3,-2)代入,得
解得
∴,
∴k=6,b=-4,n=-2. 分
(2)令y=0时,则0=2x+4,
解得x=-2,
∴点C的坐标为(-2,0),
分
∴
六、(本题满分12分)
21.(1)证明∵AD是⊙O的切线,
∴∠DAC+∠CAB=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∴∠DAC=∠B. 分
第21题图2
B＇
(2)如图2,过点A作直径AB＇,连接CB＇,
∵AD是⊙O的切线,
∴∠DAC+∠CAB＇=90°.
∵AB＇是⊙O的直径,
∴∠ACB＇=90°,
∴∠CAB＇+∠B＇=90°,
∴∠DAC=∠B＇.
∵∠B=∠B＇,
∴∠DAC=∠B. 分
(3)∵∠DAC=∠B,∠ADC=∠CDA,
∴△ADB∽△CDA,
∴.
∵AD=,DB=6，
∴CD=2，
∴BC=DB-CD=4. 分
七、(本题满分12分)
22.解：(1)此时无人机在可控范围内,理由如下：
第22题图
E
D
F
如图,过点P作PD⊥AB于点D，
∴∠ADP=90°.
在Rt△ADP中,
∵∠PAD=60°,PD=80m,
∴AD=,
AP=
∵AP=160 m＜180 m,
∴此时无人机在可控范围内. 分
(2)设李亮由点A移动到点F时无人机刚好在可控范围内,则PF=180 m,
在Rt△ADP中,
AP=160 m,PD=80m,AD=80 m，
在Rt△PDF中,
∵PD=80m,PF=180 m,
∴FD=,
∴AF=FD-AD=20-80≈34.8 (m).
答：若让无人机在可控范围内,李亮最多可沿由点A向点M的方向移动34.8 m. 分
(3)如图,过点C作CE⊥PD于点E.
∵CE⊥PD,
∴∠PEC=90°.
在Rt△PEC中,
∵∠PCE=30°,BD=AB-AD=20 m,
∴CE=BD=20 m,
∴,
∴DE=PD-PE=,
∴BC=DE≈126.9 m.
答：大楼BC的高约为126.9 m. 分
八、(本题满分14分)
23.解：(1)∵BP⊥PQ,CQ⊥PQ,
∴∠BPA=∠AQC=90°,
∴∠ABP+∠BAP=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAP+∠CAQ=90°,
∴∠ABP=∠CAQ,
∴△APB∽△CQA. 分
(2)①∵BP=BQ,
∴∠P=∠Q.
∵∠PBQ=90°,
∴∠P=∠Q=45°.
∵∠P+∠PBA+∠PAB=180°,∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,
又∵∠BAC=45°,
∴∠PBA=∠QAC,
∴△BPA∽△AQC. 分
②由①,得△BPA∽△AQC.
∴.
在Rt△PQB中,
∵BP=BQ,PQ=10 cm,
∴.
设CQ=x cm,则BC=-x cm，
∵△ABC是等腰三角形,且∠ACB=∠Q+∠CAQ＞∠BAC,
∴只有两种情形.
第一种：当AB=AC时,
∴
∴AQ=PB=,CQ=PA=PQ-AQ=10-cm.
第二种：当BC=AC时,则∠BAC=∠ABC=∠P=∠Q=45°.
∴∠ACB=90°,
∴AB=AQ,AC⊥BQ,
∴C为BQ的中点，
∴CQ= 分
m n
-2
0
2
3
4
-2
(-2,0)
(-2,2)
(-2,3)
(-2,4)
0
(0,-2)
(0,2)
(0,3)
(0,4)
2
(2,-2)
(2,0)
(2,3)
(2,4)
3
(3,-2)
(3,0)
(3,2)
(3,4)
4
(4,-2)
(4,0)
(4,2)
(4,3)