安徽省阜阳市颍州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省阜阳市颍州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是关于的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，则下列说法不正确的是（ ）
A．点M在第四象限B．点M关于x轴的对称点的坐标为
C．点M关于y轴的对称点的坐标为D．点M关于原点的对称点的坐标为
4．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
5．有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A．B．1C．D．
10．如图，点A，B是半径为2的上的两点，且．下列说法错误的是（ ）
A．圆心O到的距离为1
B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为
C．以为边向上作矩形，交于点P，Q，则扇形的面积为π
D．取弦的中点D，当绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为
二、填空题
11．如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是 ．
12．等腰三角形的边长都是方程的根，则此三角形的周长为 ．
13．如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若点B是的中点，的面积为2，则k的值为 ．
14．如图，在边长为4的正方形中，P为的中点，点Q在射线上，过点Q作于点E，连接，请探究下列问题：

（1） ；
（2）当时， ．
三、解答题
15．解方程：．
16．如图，为的半径，弦垂直平分半径，垂足为．若的长为6，求的半径．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D，点D在网格的格点上．
(1)以点D为位似中心，在网格内点D上方画出的位似图形且使得它们的相似比为2：1；
(2)将（1）中的绕点D顺时针旋转90°得到，画出．
18．【观察】
，，，…，，，，，，…，，，．
【发现】
根据以上材料，回答下列问题：
（1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______；
【类比】
观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，．
（2）猜想的最大值为______，并用你学过的知识加以证明．
19．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出当时，对应的x的取值范围．
20．定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系．
(1)求该拱桥所在抛物线的解析式；
(2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度．
21．如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22．如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上一点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接．

(1)求证：；
(2)连接并延长交直线于点D．若，
①试猜想和的数量关系，并证明；
②若，求的长．
23．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求线段的长；
(2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】解： A选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项：是中心对称图形, 符合题意；
C选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念．一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．把代入方程，从而可直接求．
【详解】解：把代入中，
得：，
解得：，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律．
先确定平面直角坐标系中M点的位置，再确定其对称点的位置即可．
【详解】解：A．点M在第四象限，选项正确，不符合题意；
B．点M关于x轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
C．点M关于y轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
D．点M关于原点的对称点的坐标为，选项错误，符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质、二次函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．直接利用反比例函数的性质、二次函数的性质分别判断得出答案．
【详解】解：A、，当时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、，开口方向向下，对称轴为直线，所以当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不合题意；
C、，开口方向向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不合题意；
D、，当时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有共6种可能，其中是2的倍数，
∴摆出的三位数是2的倍数的概率是，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形为的内接正五边形，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
故选：B
7．C
【分析】如图连接，根据得到，再结合面积公式求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．
8．B
【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴二次函数开口向下，对称轴在轴右侧；
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴与轴交点在轴上方，
满足上述条件的函数图象只有选项B．
故选：B．
9．A
【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解析：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10．C
【分析】过点O作于点H，连接，由垂径定理，勾股定理求出；延长交圆于C，可得，即可求出的最大面积为；以为边向上作矩形，由勾股定理求出，判定为等边三角形，求出，即得扇形的面积为；当绕点O旋转一周时，点D运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出D运动的路线长为．于是可以得到答案．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，等边三角形，扇形面积．熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，是解题的关键．
【详解】
如图1，过点O作于点H，连接，
则．
在中，由勾股定理得，，
∴圆心O到的距离为1，
故选项A正确；
如图1，延长交于点C，
此时的面积最大．
∵，
∴，
∴面积的最大值为，
故选项B正确；
如图2，连接，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，是的直径，
∴．
在中，由勾股定理得，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选项C错误；
连接，，．
则，
∵点D是弦的中点，
∴，
∴，
∴当绕点O旋转一周时，
点D运动的路线是以O为圆心，半径长是1的圆，
∴点D运动的路线长为，，
故选项D正确．
故选：C．
11．
【分析】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”得出答案即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是，
故答案为：．
12．10
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三角形的三边长，最后利用三角形的周长公式即可得答案．
【详解】解：，
∴，
解得，
由题意得：这个三角形的三边长分别为或，
（1）当这个三角形的三边长分别为时，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去，
（2）当这个三角形的三边长分别为时，
，
满足三角形的三边关系定理，
∴三角形的周长为；
故答案为：10
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理，正确求出等腰三角形的三边长是解题关键．
13．
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．
根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14． 5
【分析】（1）由勾股定理可求解．
（2）由相似三角形的性质可求，，由平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
点P为的中点，
，
，
故答案为：；
（2），
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
15．．
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，方程整理后，根据因式分解法解方程即可．
【详解】解：方程整理得：
∴，
∴或
解得．
16．
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，根据垂直平分线的性质和垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，然后代入求值，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵为的半径，垂直平分半径，，
∴，，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得或（不合题意，舍去），
∴的半径为．
17．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
（1）利用网格特点，延长到使，延长到B1使，延长到使，从而得到；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可；
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
18．（1）；（2）1600，证明见解析．
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，二次函数的性质的应用，理解题意是关键；
（1）根据观察发现两数和为定值60，从而可得答案；
（2）由．可得，再代入，利用二次函数的性质可得结论．
【详解】解：（1）由题意可得：；
故答案为：；
（2）1600
证明如下：
由题意，得．
将代入，
得，
∴当时，的最大值为1600．
故答案为：1600．
19．(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，
（1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得；
（2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得；
（3）观察函数图象即可得；
掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵直线过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，
在中，令，则，令，即，
令，则，
，
即，
∴
；
（3）解：根据函数图象得，当时，或．
20．(1)拱桥所在抛物线的解析式为：；
(2)此时拱桥内水面的宽度为米．
【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解，
（2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案，
本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，．
∵水面离桥洞最大距离为1米，
∴该抛物线顶点坐标为．
设该抛物线解析式为，把代入，
得，解得，
故该拱桥所在抛物线的解析式为：；
（2）由题意，得．
把代入，
得，解得：，，
（米），
故此时拱桥内水面的宽度为米．
21．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，证明即可．
（2）利用勾股定理，三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，垂径定理，三角形面积公式，熟练掌握切线的证明，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由旋转得，则，则，，再由全等三角形的性质求解即可；
（2）①连接，旋转得，则是等边三角形，，是垂直平分线，即可得到；
②由（1）得，，求得，在中，，则．
【详解】（1）证明：在等边中，，
由旋转可得，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）①．
证明：连接，如图：

由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
∴是垂直平分线，
∵点B在上，
∴；
②由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵,
∴,
∵，
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
23．(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用．掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）求出的自变量的值，得到两点的坐标，进一步求解即可；
（2）连接，设，根据，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）过点N作于点H，连接，求出点坐标，进而求出的解析式，推出，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
解得，，即，B（3，0），
∴．
（2）∵，当时，，
∴点C的坐标为，
如图1，连接，设，
则
∵，
∴当时，，
此时，，
∴当的面积最大时，点P的坐标为．
（3）存在满足条件的点N，
如图2，过点N作于点H，连接，
∵，
∴，
∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，把代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴的交点为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
设，则，，
∴，解得，
∴点N的坐标为或．