安徽省阜阳市颍州区阜阳实验中学2025-2026 学年度九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省阜阳市颍州区阜阳实验中学2025-2026 学年度九年级上学期期末考试数学试卷，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 10月24日，2025中国户外运动产业大会在云南大理开幕，国家体育总局发布相关报告．据统计，截至2025年4月初，我国户外运动参与人数已突破4亿人，其中数据4亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）．
A. B.
C. D.
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ）
A. 人向暗室后退2米B. 人向暗室前进2米
C. 人向暗室后退4米D. 人向暗室前进4米
7. 若，且，，则值是（ ）
A. 2B. C. 3D.
8. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数，使得
B. 无论实数取什么值，都有
C. 可以找到一个实数，使得
D. 无论实数取什么值，都有
二、填空题（每题5分，共20分）
11 因式分解：=_______________.
12. 计算：______．
13. 如图，中，平分，交于点，，，则的值是_______．
14. 如图，矩形，，，点H为上一点，将沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F，．则_______；长为_______．
三、解答题
15. 解方程：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：

（1）绕点旋转后得到，请画出
（2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为；
（3）若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____；
17. 观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
第四个等式：，
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：___________
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
18. 在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距．
（1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______；
（2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1）
19. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得．
（1）与相似吗？什么？
（2）若，求的长；
（3）当为多少时，的长最大？最大为多少？
20. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

21. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元．
（1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？
（2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
22. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若，时，求的值；
（3）若对于，都有，求取值范围．
阜阳实验中学2025-2026 学年度九年级（上）期末考试
数学试卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是，因此的倒数为．
【详解】倒数的定义：若，则是的倒数，且，
的倒数为 ，
故选：．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，积的乘方和幂的乘方运算，根据相关计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 10月24日，2025中国户外运动产业大会在云南大理开幕，国家体育总局发布相关报告．据统计，截至2025年4月初，我国户外运动参与人数已突破4亿人，其中数据4亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．将4亿用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答．
【详解】解：将4亿用科学记数法表示应为，
故选：B．
4. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键．
通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解．
【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意；
，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意；
，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意；
，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意；
故选C．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的运算，根据算术平方根，立方根，二次根式的运算逐一进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、，该选项计算错误，不符合题意；
、由，则 ，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算正确，符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
故选：．
6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（ ）
A. 人向暗室后退2米B. 人向暗室前进2米
C. 人向暗室后退4米D. 人向暗室前进4米
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可得到小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，可求出操作前，操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，，
∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，
∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，
∴操作前；
∵操作后像的长度变为原来的倍，
∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，
当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意；
当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意；
当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意；
当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意；
故选：B．
7. 若，且，，则的值是（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解，已知式子的值，求代数式的值．
由已知可得，移项，因式分解可得，由，可得，即可得的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
9. 如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案．
【详解】解：取的中点F，连接，，如图，
∵是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，又，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，当B、F、E共线时取等号，如图
∴的最小值为，
故选：C．
10. 已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数，使得
B. 无论实数取什么值，都有
C. 可以找到一个实数，使得
D. 无论实数取什么值，都有
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意，用含的代数式分别表示出和，再一次对所给选项进行判断即可．
【详解】解：由题知，；，
，
令得，，
解得．
，
抛物线的开口向下，
当时，．
故A选项符合题意，B选项不符合题意
，，
．
故不可以找到一个实数，使得，
选项C、D不符合题意．
故选：A．
二、填空题（每题5分，共20分）
11. 因式分解：=_______________.
【答案】a(a+b)(a-b).
【解析】
【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
解析：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式除以单项式运算，根据运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再结合单项式除以单项式的法则计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 如图，中，平分，交于点，，，则的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例性质、等腰三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键；
利用角平分线和平行线可得，根据相似三角形得到，求出长，根据平行线分线段成比例得到即可．
【详解】解：∵的平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，（舍去）；
∵，
∴，即，
故答案为：．
14. 如图，矩形，，，点H为上一点，将沿着翻折至，与交于点E，连接交于点F，．则_______；的长为_______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，折叠，构造辅助线，利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理求出，进而根据正弦定义求出；延长至点，使得，连接交于点，证明，根据的正切列方程求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
延长至点，使得，连接交于点，
∴，
由折叠得，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
三、解答题
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据平方差公式将等号右边的部分因式分解，再移项，提公因式，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故或，
∴，．
16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：

（1）绕点旋转后得到，请画出
（2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为；
（3）若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点；
（2）点为位似中心，按位似比为即可求解：
（3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解．
本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键．
【小问1详解】
解：由题可得，如图所示：
【小问2详解】
解：由题可得，如图所示：
【小问3详解】
解：由题意得：,,

17. 观察下列等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
第四个等式：，
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：___________
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
；
（2）
第个等式为，证明过程见解析．
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探索，完全平方公式，多项式乘法．
（1）由前四个等式得出规律，即可得出结果；
（2）根据已知等式找规律，进行猜想，根据完全平方公式和多项式乘法证明即可．
【小问1详解】
解：通过观察可得，第5个等式为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：猜想的第个等式为，
证明：
，
，
∴．
18. 在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距．
（1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______；
（2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1）
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用．
（1）将代入中求解，即可解题；
（2）将代入中求解，即可解题．
【小问1详解】
解：当时，．
故答案为：12．
【小问2详解】
解：当时，．
因为，所以．
答：此时的车速约为．
19. 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得．
（1）与相似吗？为什么？
（2）若，求的长；
（3）当为多少时，的长最大？最大为多少？
【答案】（1）相似，见解析
（2）
（3）当时，最大值为4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可；
（3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可.
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设，则，
∵，
∴，
即，
∴，
∴当时，最大为4，
∴当时，最大值为4．
20. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
21. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元．
（1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？
（2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
【答案】（1）甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元
（2）有三种购买方案 （3）
【解析】
【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可，
（2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可，
（3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键．
【小问1详解】
解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验是方程的解，
则
答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元．
【小问2详解】
解：购买乙商品件，则甲商品件，
根据题意得，
解得，
为正整数，
或或，
则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件，
方案二购买乙商品49件，则甲商品101件，
方案三购买乙商品50件，则甲商品100件．
故商品共有三种购买方案．
【小问3详解】
解：设商品总获利为元，
所有进货方案获利都相同，
的取值与无关，
则的系数为0，
．
即答案为：．
22. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）
（2）10 （3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
（4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

，
，
，
，
，
又且
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
；
小问3详解】
解：如图所示，过点作于点，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
设，则，
解得：
∴；
【小问4详解】
解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点

∵
∴，设，则，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，

∵
∴
∵
∴
设，则，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若，时，求的值；
（3）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）0 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键；
（1）将代入中，得，再将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）由求出，，再根据得到，代入计算即可；
（3）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论．
【小问1详解】
解：当时，抛物线，
配方，得，
∴当时，抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：当时，，，
将代入得，，即，
∵，
∴，
将代入得，，
解得：或，
∵点、不重合，
∴；
【小问3详解】
解：∵的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴，都在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴
∴，都在对称轴的左侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
综上所述，的取值范围为或．