2025-2026学年北京市丰台区高二上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市丰台区高二上学期期末数学试卷（学生版），共6页。
1. 已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知数列满足，（），则（ ）
A. B. 9C. 11D. 13
3. 已知双曲线（）的一条渐近线的方程为，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
4. 已知向量，，则为（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
5. 已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，NBC中点，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 6
7. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架，将顶点固定，带滑槽的直杆的一个端点为，点处的铰链在直杆的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆一端固定在点处（可绕旋转），另一端连接点处的铰链，.与交点处有一个栓子（可在带滑槽的直杆上滑动），转动直杆的过程中，点处笔尖画出的曲线记为.以中点为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为（ ）

A. B.
C. D.
10. 如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（ ）

A. 存点，使得平面
B. 对于任意点，
C. 存在点，使得平面
D. 对于任意点，都是锐角三角形
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知两直线：和：，若，则______.
12. 已知数列的前项和为，且满足，，则______.
13. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____．
14. 已知抛物线的焦点为，则点到准线的距离为______，过点作倾斜角为锐角的直线，直线与抛物线交于不同的两点，，过点作直线的垂线交准线于点，若，则直线的倾斜角为______.
15. 平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论.
①曲线关于轴对称；
②面积的最大值为；
③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上；
④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17. 已知圆心为的圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，当时，求值.
18. 已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线焦点直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点.
19. 如图，在直四棱柱中，，，，为棱的中点.再从下列三个条件中选择一个作为已知，完成以下问题的解答.
条件①：；
条件②：；
条件③：直线与平面所成角的正切值为.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
20. 已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比.
21. 设为正整数，将正整数1，2，3，…，（）按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，的一个排列，，…，.如果时，有（，，2，…，），则称是排列，，…，的一个“逆序对”，排列，，…，中所有逆序对的个数称为其“逆序数”.记为1，2，3，…，的所有排列中“逆序数”为的排列的个数.
（1）当时，写出“逆序数”为2的所有排列（直接写出结论）；
（2）当时，求的表达式（用表示）；
（3）证明：在1，2，3，…，的所有排列中，恰有种不同的排列的“逆序数”能被整除.
注：.