2025-2026学年浙江杭州市上城区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年浙江杭州市上城区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.篮球运动员投篮一定命中
B.买了彩票一定中奖
C.任意投掷一枚图钉，钉尖朝下
D.任选三角形的两边，其和大于第三边
2.若，则的值等于（ ）
A.B.C.D.
3.如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，则（ ）
A.B.
C.D.
4.如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
5.年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下：
根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（ ）
A.B.C.D.
6.若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ）
A.B.C.D.
8.二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11.已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为__________．
12.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是_____．
13.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为1，则的周长是__________．
14.鲁洛克斯三角形（）又称勒洛三角形、莱洛三角形、圆弧三角形，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．圆弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点，，为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则圆弧三角形的周长为__________（结果保留π）．
15.已知，是抛物线（为常数）上的两点，若，则的值为______．
16.如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点．
（1）半径__________；
（2）连接，若，则__________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求抛物线与轴的交点坐标；
（3）二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？
18.一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率；
（2）若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球．请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率．
19.如图，，是的两条弦，平分．
（1）求证：；
（2）若的半径为10，，求圆心到的距离．
20.2026年1月，某校举办了体育节活动．901班学生为了备赛班级篮球赛，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备．
如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为轴，过点作垂线为轴建立平面直角坐标系如图2所示．篮球的运动轨迹可以用二次函数刻画，篮球运动的水平距离（米）与篮球距离水平地面的竖直高度（米）的变化规律如下表：
（1）根据上表，请确定篮球运动轨迹的函数表达式；
（2）求篮球飞行的最大高度．
21.如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的重心，求与的比．
22.如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点．
（1）如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点．
①的度数为__________；
②若，求阴影部分的面积．
（2）如图，若，证明：．
23.定义：直线（、是常数且）为抛物线的“伴随直线”．
（1）当时，求证：抛物线与“伴随直线”只有一个交点．
（2）探究当时，抛物线与“伴随直线”的交点．
请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分．
（3）当时，且，求自变量的取值范围．
24.如图1，在中，，以线段为直径的交于点，连接，作，垂足为，线段的延长线交于点，连接．
（1）探究的过程，小聪完成一部分证明，如右框图，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成的证明．
（2）如图2，连接，当为中点，求证：．
（3）如图3，当，求的值（用含的式子表示）
抽取个数（个）
合格频数
合格频率
水平距离/米
0
1
2
竖直高度/米
2
3
3
水平层次
水平表现
直线与抛物线的交点
标准说明
层次1
取__________，
__________．
（__________），（__________）
，取具体数值求出交点得2分
层次2
直接用字母，求交点
（__________），（__________）
用，字母表示交点坐标得4分
，