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浙江省杭州市上城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省杭州市上城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级第一学期期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．直角三角形 C．正方形 D．角
2．已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
4．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣1
6．关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．6
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AD＝DC＝DB，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．40°
8．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m的取值范围是 ．
12．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（“真”、“假”）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则AE＝ ．
14．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为 ．
15．如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（1）解不等式＜x+，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
18．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 ．
19．已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
20．2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进10台机器生产洗手液，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过44万元．
甲
乙
价格（万元/台）
6
4
每台日产量（吨）
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案（可以只选一种机器）？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
21．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
22．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．
（1）若AC＝3，DM＝1，求△ACD的面积．
（2）求证：AC＝BM+CM．
23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间；
（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？
四、解答题（共3小题，满分0分）
24．已知ab＝2．若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是 ．
25．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a＜b），a+b＝ ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，S△AFP﹣S△CGP＝ ．
26．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ °，β＝ °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
参考答案
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．直角三角形 C．正方形 D．角
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故错误．
故选：B．
2．已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．
解：设第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
又x为偶数，因此x＝4或6．
故选：C．
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可选出答案．
解：根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变．
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b．
故选：B．
4．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，由∠DCB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠ACD，根据ASA可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
B、由∠ADC＝∠AEB，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
C、由AD＝AE，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣1
【分析】a＝2，b＝﹣1满足a＞b，但不满足＜．
解：用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例可为a＝2，b＝﹣1．
故选：B．
6．关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】移项、系数化为1得出x≤，由数轴知x≤﹣1，据此可得＝﹣1，解之即可．
解：移项，得：﹣2x≥﹣a+4，
系数化为1，得：x≤，
由数轴知x≤﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝6，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AD＝DC＝DB，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．40°
【分析】根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，进而解答即可．
解：∵∠A＝60°，AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠B＝，
故选：A．
8．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1
【分析】分别利用坐标轴上的点的特点、关于原点对称点的坐标、不等式的解法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、若ab＝0，则P（a，b）在坐标轴上，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），正确，是真命题，符合题意；
D、若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝2，
∴QD＝，
∴线段OE的最小值是为．
故选：D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m的取值范围是 m＞2 ．
【分析】根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：由第一象限点的坐标的特点可得：，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
12．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是 如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形 ，该逆命题是 真 命题．（“真”、“假”）．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理判断即可．
解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则AE＝ 3 ．
【分析】先证明AE＝AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
又AD＝AD，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC．
在Rt△BDE中，
BE＝＝＝4．
设AE＝x，则AC＝x，AB＝4+x，
在Rt△ABC中，利用勾股定理得（4+x）2＝82+x2，
解得x＝3．
所以AE长为3．
故答案为：3
14．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为 ﹣5 ．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可．
解：不等式3（2+x）＞2x的解集为x＞﹣6，
所以最小负整数解为﹣5．
15．如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ 35° ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ 75° ．
【分析】当∠ABC为钝角时，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，结合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数．
解：当∠ABC为钝角时，如图：
∵AB+BH＝CH，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝35°；
当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图所示：
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠C＝∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．
故答案为：35°，75°．
16．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为 ．
【分析】取AB的中点D，分别过点D作直线DF⊥AC于F，直线DE⊥BC于E，过点D作DG⊥AB交AC于G，则由线段垂直平分线的性质可得当P处在△ADG内部（包括边上时）满足PB≥PA，同理当P处在四边形BCFD内（包括边上时）满足PA≥PC，当P处在△DGF内（包括边上）时，满足PB≥PA≥PC，由此只需求解△DGF的面积即可．
解：如图，取AB的中点D，分别过点D作直线DF⊥AC于F，直线DE⊥BC于E，过点D作DG⊥AB交AC于G，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，CD＝BD＝AD＝，
∴D在线段BC和AC的垂直平分线上，
∵BD＝AD，GD⊥AB，
∴BG＝AG，
∴DG垂直平分线段AB，
∴当P处在△ADG内部（包括边上时）满足PB≥PA，
同理当P处在四边形BCFD内（包括边上时）满足PA≥PC，
∴当P处在△DGF内（包括边上）时，满足PB≥PA≥PC，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+（6）2＝4BC2，
∴BC＝6，
∴AB＝12，
∴AD＝6，
∵∠A＝30°，∠ADG＝90°，
∴同理可得DG＝2，∠AGD＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴FG＝＝，
∴DF＝＝3，
∴S△DGF＝＝，
故答案为：．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（1）解不等式＜x+，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去分母，得：2x﹣1＜3x+1，
移项，得：2x﹣3x＜1+1，
合并同类项，得：﹣x＜2，
系数化为1，得：x＞﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
18．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 4 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 3 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用两直角边分别为3、3的直角三角形面积减去一个直角边分别为1、3的直角三角形面积和底为1、3，高为1的提醒面积；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接AC′，与y轴的交点即为所求，其最小值即为AC′的长度，根据勾股定理求解即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为×4×4﹣×1×3﹣×（1+4）×1＝4，
故答案为：4；
（3）如图所示，点P即为所求，其最小值为AC′的长度，为＝3．
19．已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．
【解答】证明：连接AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠ACD．
∴AD＝CD．
20．2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进10台机器生产洗手液，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过44万元．
甲
乙
价格（万元/台）
6
4
每台日产量（吨）
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案（可以只选一种机器）？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【分析】（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器为（10﹣x）台，根据购买机器所耗资金不能超过44万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤44万元．列出一元一次不等式不等式，求出非负整数解即可；
（2）由该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102万个，列出不等式．再根据（1）中的x的取值得x＝1或2，进而求解即可．
解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器为（10﹣x）台，
（1）由题意得：6x+4（10﹣x）≤44，
解得：x≤2，
∵x取非负整数，
∴x＝0或1或2．
∴有3种购买方案：
①乙种机器10台；②甲种机器1台，乙种机器9台；③甲种机器2台，乙种机器8台；
（2）由题意得：15x+10（10﹣x）≥102，
解得：x≥0.4，
∵x≤2，x为非负整数，
∴x＝1或2，
∴当购买甲种机器1台，乙种机器9台时，所需资金＝6×1+4×9＝42；
当购买甲种机器2台，乙种机器8台时，所需资金＝6×2+4×8＝44；
∵42＜44，
∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台，乙种机器9台．
21．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
【分析】（1）由DB＝BC，点E是CD的中点，证明BE⊥CD，得∠AEB＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明EF＝AB；
（2）先证明AF＝EF，得∠EAB＝∠FEA，再由∠EAG＝∠FEA证得∠EAB＝∠EAG，再根据“角边角”即可证明△ABE≌△AGE．
【解答】（1）证明：如图1，∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴EF＝AB．
（2）证明：如图2，∵AF＝AB，EF＝AB，
∴AF＝EF，
∴∠EAB＝∠FEA，
∵∠EAG＝∠FEA，
∴∠EAB＝∠EAG，
∵BE⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEG＝90°，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（ASA）．
22．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．
（1）若AC＝3，DM＝1，求△ACD的面积．
（2）求证：AC＝BM+CM．
【分析】（1）已知条件中给出了角平分线和垂线，想到角平分线的性质，作DN⊥AC于点N，则DN＝DM＝1，可以求出△ACD的面积；
（2）先证明Rt△CDN≌Rt△CDM，得CN＝CM，再证明Rt△AND≌Rt△BMD，得AN＝BM，于是可以得出结论AC＝BM+CM．
解：如图，作DN⊥AC于点N，
（1）∵DM⊥BP于点M，CD平分∠ACP，
∴DN＝DM＝1，
∵AC＝3，
∴S△ACD＝AC•DN＝×3×1＝，
∴△ACD的面积为．
（2）证明：∵DN⊥AC于点N，DM⊥BP于点M，
∴∠CND＝∠CMD＝∠AND＝90°，
在Rt△CDN和Rt△CDM中，
，
∴Rt△CDN≌Rt△CDM（HL），
∴CN＝CM，
在Rt△AND和Rt△BMD中，
，
∴Rt△AND≌Rt△BMD（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM．
23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间；
（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）分两种情形：当M，N在BC上，假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值，当M、N分别在AC、AB上时，也存在AM＝AN；
（3）分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形，
当M、N分别在AC、AB上时，可得AM＝AN，t＝6﹣2t，
t＝2，
综上所述，满足条件的t的值为8或2．
（3）当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图4，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在BC上运动时，
如图5，
当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则2t＝6+6+3，
解得t＝；
如图6，
当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t＝6+3＝9；
综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN．
四、解答题（共3小题，满分0分）
24．已知ab＝2．若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是 ﹣2≤a≤﹣ ．
【分析】先用a表示出b的值，再根据b的取值范围求出a的取值范围即可．
解：∵ab＝2，
∴b＝，
∵﹣3≤b≤﹣1，
∴﹣3≤≤﹣1，
∴﹣2≤a≤﹣．
故答案为：﹣2≤a≤﹣．
25．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a＜b），a+b＝ ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，S△AFP﹣S△CGP＝ ．
【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出a2+b2＝25，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果；
（2）易得AE＝CG，然后证△AEM≌△CGP（ASA），得S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，推出S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME＝S正方形EFGH，即可得出结果．
解：（1）∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为3，
∴a2+b2＝25，（b﹣a）2＝3，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝25﹣3＝22，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+22＝47，
解得a+b＝（负值已舍去）；
故答案为：；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM＝∠HEF＝∠FGH＝∠CGP＝90°，EM∥PF，AF∥CH，
∴∠EAM＝∠GCP，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴Rt△AED≌Rt△CGB，
∴AE＝CG，
在△AEM和△CGP中，
，
∴△AEM≌△CGP（ASA），
∴S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，
∴S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME＝（EM+PF）•EF＝（PG+PF）•EF＝FG•EF＝S正方形EFGH，
∵S正方形EFGH＝3，
∴S△AFP﹣S△CGP的值是，
故答案为：．
26．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20 °，β＝ 10 °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
解：（1）①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠ADE＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级第一学期期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．直角三角形 C．正方形 D．角
2．已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
4．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣1
6．关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．6
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AD＝DC＝DB，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．40°
8．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m的取值范围是 ．
12．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（“真”、“假”）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则AE＝ ．
14．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为 ．
15．如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（1）解不等式＜x+，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
18．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 ．
19．已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
20．2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进10台机器生产洗手液，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过44万元．
甲
乙
价格（万元/台）
6
4
每台日产量（吨）
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案（可以只选一种机器）？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
21．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
22．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．
（1）若AC＝3，DM＝1，求△ACD的面积．
（2）求证：AC＝BM+CM．
23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间；
（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？
四、解答题（共3小题，满分0分）
24．已知ab＝2．若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是 ．
25．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a＜b），a+b＝ ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，S△AFP﹣S△CGP＝ ．
26．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ °，β＝ °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
参考答案
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．直角三角形 C．正方形 D．角
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故错误．
故选：B．
2．已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．
解：设第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
又x为偶数，因此x＝4或6．
故选：C．
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可选出答案．
解：根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变．
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b．
故选：B．
4．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，由∠DCB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠ACD，根据ASA可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
B、由∠ADC＝∠AEB，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
C、由AD＝AE，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例是（ ）
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝﹣1
【分析】a＝2，b＝﹣1满足a＞b，但不满足＜．
解：用来证明命题“若a＞b，则＜”是假命题的反例可为a＝2，b＝﹣1．
故选：B．
6．关于x的不等式﹣2x+a≥4的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】移项、系数化为1得出x≤，由数轴知x≤﹣1，据此可得＝﹣1，解之即可．
解：移项，得：﹣2x≥﹣a+4，
系数化为1，得：x≤，
由数轴知x≤﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝6，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AD＝DC＝DB，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．35° C．25° D．40°
【分析】根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，进而解答即可．
解：∵∠A＝60°，AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠B＝，
故选：A．
8．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1
【分析】分别利用坐标轴上的点的特点、关于原点对称点的坐标、不等式的解法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、若ab＝0，则P（a，b）在坐标轴上，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），正确，是真命题，符合题意；
D、若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝2，
∴QD＝，
∴线段OE的最小值是为．
故选：D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m的取值范围是 m＞2 ．
【分析】根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：由第一象限点的坐标的特点可得：，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
12．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是 如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形 ，该逆命题是 真 命题．（“真”、“假”）．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理判断即可．
解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则AE＝ 3 ．
【分析】先证明AE＝AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
又AD＝AD，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC．
在Rt△BDE中，
BE＝＝＝4．
设AE＝x，则AC＝x，AB＝4+x，
在Rt△ABC中，利用勾股定理得（4+x）2＝82+x2，
解得x＝3．
所以AE长为3．
故答案为：3
14．不等式3（2+x）＞2x的最小负整数解为 ﹣5 ．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小负整数即可．
解：不等式3（2+x）＞2x的解集为x＞﹣6，
所以最小负整数解为﹣5．
15．如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝ 35° ，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝ 75° ．
【分析】当∠ABC为钝角时，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，结合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数．
解：当∠ABC为钝角时，如图：
∵AB+BH＝CH，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝35°；
当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图所示：
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠C＝∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．
故答案为：35°，75°．
16．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AC＝6．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为 ．
【分析】取AB的中点D，分别过点D作直线DF⊥AC于F，直线DE⊥BC于E，过点D作DG⊥AB交AC于G，则由线段垂直平分线的性质可得当P处在△ADG内部（包括边上时）满足PB≥PA，同理当P处在四边形BCFD内（包括边上时）满足PA≥PC，当P处在△DGF内（包括边上）时，满足PB≥PA≥PC，由此只需求解△DGF的面积即可．
解：如图，取AB的中点D，分别过点D作直线DF⊥AC于F，直线DE⊥BC于E，过点D作DG⊥AB交AC于G，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，CD＝BD＝AD＝，
∴D在线段BC和AC的垂直平分线上，
∵BD＝AD，GD⊥AB，
∴BG＝AG，
∴DG垂直平分线段AB，
∴当P处在△ADG内部（包括边上时）满足PB≥PA，
同理当P处在四边形BCFD内（包括边上时）满足PA≥PC，
∴当P处在△DGF内（包括边上）时，满足PB≥PA≥PC，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+（6）2＝4BC2，
∴BC＝6，
∴AB＝12，
∴AD＝6，
∵∠A＝30°，∠ADG＝90°，
∴同理可得DG＝2，∠AGD＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴FG＝＝，
∴DF＝＝3，
∴S△DGF＝＝，
故答案为：．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（1）解不等式＜x+，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去分母，得：2x﹣1＜3x+1，
移项，得：2x﹣3x＜1+1，
合并同类项，得：﹣x＜2，
系数化为1，得：x＞﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
18．如图，在平面直角坐标系中A（1，4），B（5，0），C（2，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）请求出△A1B1C1的面积为 4 ．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最小，最小值为 3 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用两直角边分别为3、3的直角三角形面积减去一个直角边分别为1、3的直角三角形面积和底为1、3，高为1的提醒面积；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接AC′，与y轴的交点即为所求，其最小值即为AC′的长度，根据勾股定理求解即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为×4×4﹣×1×3﹣×（1+4）×1＝4，
故答案为：4；
（3）如图所示，点P即为所求，其最小值为AC′的长度，为＝3．
19．已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．
【解答】证明：连接AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠ACD．
∴AD＝CD．
20．2020年，全球爆发新冠肺炎疫情，某洗化日化公司为扩大经营，决定购进10台机器生产洗手液，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产洗手液的产量如表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过44万元．
甲
乙
价格（万元/台）
6
4
每台日产量（吨）
15
10
（1）按该公司要求可以有几种购买方案（可以只选一种机器）？请写出所有的购买方案．
（2）若该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102吨，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【分析】（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器为（10﹣x）台，根据购买机器所耗资金不能超过44万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤44万元．列出一元一次不等式不等式，求出非负整数解即可；
（2）由该公司购进的10台机器的日生产能力不能低于102万个，列出不等式．再根据（1）中的x的取值得x＝1或2，进而求解即可．
解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器为（10﹣x）台，
（1）由题意得：6x+4（10﹣x）≤44，
解得：x≤2，
∵x取非负整数，
∴x＝0或1或2．
∴有3种购买方案：
①乙种机器10台；②甲种机器1台，乙种机器9台；③甲种机器2台，乙种机器8台；
（2）由题意得：15x+10（10﹣x）≥102，
解得：x≥0.4，
∵x≤2，x为非负整数，
∴x＝1或2，
∴当购买甲种机器1台，乙种机器9台时，所需资金＝6×1+4×9＝42；
当购买甲种机器2台，乙种机器8台时，所需资金＝6×2+4×8＝44；
∵42＜44，
∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台，乙种机器9台．
21．如图1，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB．
（2）如图2，在△ABC外作∠EAG＝∠FEA，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
【分析】（1）由DB＝BC，点E是CD的中点，证明BE⊥CD，得∠AEB＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明EF＝AB；
（2）先证明AF＝EF，得∠EAB＝∠FEA，再由∠EAG＝∠FEA证得∠EAB＝∠EAG，再根据“角边角”即可证明△ABE≌△AGE．
【解答】（1）证明：如图1，∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴EF＝AB．
（2）证明：如图2，∵AF＝AB，EF＝AB，
∴AF＝EF，
∴∠EAB＝∠FEA，
∵∠EAG＝∠FEA，
∴∠EAB＝∠EAG，
∵BE⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEG＝90°，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（ASA）．
22．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．
（1）若AC＝3，DM＝1，求△ACD的面积．
（2）求证：AC＝BM+CM．
【分析】（1）已知条件中给出了角平分线和垂线，想到角平分线的性质，作DN⊥AC于点N，则DN＝DM＝1，可以求出△ACD的面积；
（2）先证明Rt△CDN≌Rt△CDM，得CN＝CM，再证明Rt△AND≌Rt△BMD，得AN＝BM，于是可以得出结论AC＝BM+CM．
解：如图，作DN⊥AC于点N，
（1）∵DM⊥BP于点M，CD平分∠ACP，
∴DN＝DM＝1，
∵AC＝3，
∴S△ACD＝AC•DN＝×3×1＝，
∴△ACD的面积为．
（2）证明：∵DN⊥AC于点N，DM⊥BP于点M，
∴∠CND＝∠CMD＝∠AND＝90°，
在Rt△CDN和Rt△CDM中，
，
∴Rt△CDN≌Rt△CDM（HL），
∴CN＝CM，
在Rt△AND和Rt△BMD中，
，
∴Rt△AND≌Rt△BMD（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM．
23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间；
（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）分两种情形：当M，N在BC上，假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值，当M、N分别在AC、AB上时，也存在AM＝AN；
（3）分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形，
当M、N分别在AC、AB上时，可得AM＝AN，t＝6﹣2t，
t＝2，
综上所述，满足条件的t的值为8或2．
（3）当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图4，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在BC上运动时，
如图5，
当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则2t＝6+6+3，
解得t＝；
如图6，
当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t＝6+3＝9；
综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN．
四、解答题（共3小题，满分0分）
24．已知ab＝2．若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是 ﹣2≤a≤﹣ ．
【分析】先用a表示出b的值，再根据b的取值范围求出a的取值范围即可．
解：∵ab＝2，
∴b＝，
∵﹣3≤b≤﹣1，
∴﹣3≤≤﹣1，
∴﹣2≤a≤﹣．
故答案为：﹣2≤a≤﹣．
25．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a＜b），a+b＝ ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，S△AFP﹣S△CGP＝ ．
【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出a2+b2＝25，再求出4个直角三角形的面积，即可得出结果；
（2）易得AE＝CG，然后证△AEM≌△CGP（ASA），得S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，推出S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME＝S正方形EFGH，即可得出结果．
解：（1）∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为3，
∴a2+b2＝25，（b﹣a）2＝3，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝25﹣3＝22，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+22＝47，
解得a+b＝（负值已舍去）；
故答案为：；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM＝∠HEF＝∠FGH＝∠CGP＝90°，EM∥PF，AF∥CH，
∴∠EAM＝∠GCP，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴Rt△AED≌Rt△CGB，
∴AE＝CG，
在△AEM和△CGP中，
，
∴△AEM≌△CGP（ASA），
∴S△AEM＝S△CGP，EM＝PG，
∴S△AFP﹣S△CGP＝S△AFP﹣S△AEM＝S梯形FPME＝（EM+PF）•EF＝（PG+PF）•EF＝FG•EF＝S正方形EFGH，
∵S正方形EFGH＝3，
∴S△AFP﹣S△CGP的值是，
故答案为：．
26．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20 °，β＝ 10 °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
解：（1）①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠ADE＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
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