河北省2025_2026学年高二数学上学期第一次月考11月试题含解析

这是一份河北省2025_2026学年高二数学上学期第一次月考11月试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若直线 ， ，则下列向量可以作为直线 的方向向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取 作为 的一个方向向量，设 为 的方向向量，可得 ，由此可得
正确答案.
【详解】取 上两点 ， ，则 可以作为 的一个方向向量．
设 为 的方向向量，
∵ ，∴ ，故 ，即 ，B 选项正确．
故选：B.
2. 已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量 ， ，则 ，
所以 .
故选：A
3. 如图所示，已知在长方体 中， ，则 和 BG 所成角的大小是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ∥ ，得到 为 和 BG 所成角求解.
【详解】因为 ∥ ，所以 为 和 BG 所成角，
所以在 中， ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 和 BG 所成角的大小是 ，
故选：C
4. 若直线 与 平行，则实数 的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 2 或 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行可得 ，运算求解并代入检验即可.
【详解】若直线 与 平行，
则 ，整理可得 ，解得 或 ，
若 ，则 与 平行，符合题意；
若 ，则 与 重合，不合题意；
综上所述： .
故选：B.
5. 袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，
则两次都摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据古典概型的概率公式以及独立事件的概率公式，可得答案.
【详解】袋子中有 个大小质地完全相同的球，其中 个红球， 个黄球，
从中不放回地依次随机摸出 个球，两次摸到红球的概率：
；
故选：A.
6. 已知圆 C： ，D 是圆 C 上的动点，点 ，若动点 M 满足 ，则点 M 的
轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，根据 得到 ，将其代入圆 C 方程，即得点 的轨
迹方程.
【详解】设 ， ，
因 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ，故 （*），
因 D 是圆 C 上的动点，故 ，
将（*）代入上式，可得 ，
整理得 ，即为点 M 轨迹方程.
故选：B
7. 已知 ： ，点 ，O 是坐标原点．若点 B 在 上，则 面积的
最大值为（ ）
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A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】分析易得 在 的延长线上，且在圆上时， 面积最大，进而求解即可.
【详解】由 ： ，即 ，
则圆心 ，半径为 ，
因为 ， ，则 ， ，
又 ，则 ，即 ，
要使 面积最大，则 在 延长线上，且在圆上，如图，
此时 ，
则 面积的最大值为 .
故选：B.
8. 已知直线 恒过定点 A，圆 上的两点 ，
满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 ，由 得到 三点共线，设弦 PQ 的中点为 ，得到
，利用 ，得到 E 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，设直线 l 为 ，利用
点到直线的距离求出 E 到 l 的最小距离，过 P、E、Q 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 M、R、N，则四边
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形 MNQP 是直角梯形，且 R 是 MN 的中点， 则 ER 是直角梯形的中位线，即 ，计算得
解.
【详解】 直线 ， ，
， ， ， , 三点共线，
设弦 PQ 的中点为 ，连接 OE，则 ，即 ，
∴ ， ， ，
所以点 E 的轨迹方程为 ，
即 E 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设直线 l 为 ，
则 E 到 l 最小距离为 ，
过 P、E、Q 分别作直线 l 垂线，垂足分别为 M、R、N，
则四边形 MNQP 是直角梯形，且 R 是 MN 的中点， 则 ER 是直角梯形的中位线，
∴ ，
即 ，
即 ，
所以 的最小值为 .
故选：C．
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二、多选题
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 若直线倾斜角 ，则斜率 的取值范围是
B. 若两直线平行，则两直线的倾斜角必相等
C. 若直线 与 互相垂直，则
D. 若直线 与 平行，则 与 的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线倾斜角范围求出正切值的范围可判断 A；根据两直线平行的性质可判断 B；根据两直线垂
直，一般式方程中参数的关系，求出参数值判断 C；根据两直线平行时，一般式方程中参数的关系，求出
参数值，再根据平行线距离公式，求出结果判断 D.
【详解】对于 A：当 时，由斜率 ， ，故 A 正确；
对于 B：若两直线平行，则两直线的倾斜角必相等，故 B 正确；
对于 C：直线 与 互相垂直，
则 解得 或 ，故 C 错误；
对于 D：由 有 ，解得 ，
所以 与 的距离为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 如图正方体 的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是（ ）
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A. 正方体被面 分割成两部分的体积比为
B. 点 C 到平面 的距离为 .
C. 四面体 的外接球体积为
D. 二面角 的大小为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A，利用棱锥的体积公式计算分割成的三棱锥的体积，用间接法计算另一部分体积求其比值
即可；对于 B，先证 平面 ，即得点 C 到平面 的距离即 即可；对于 C，
根据图形判断四面体 与正方体共外接球易得其体积；对于 D，证明 是二面角
的平面角，在 中求其正切值即可判断.
【详解】
对于 A， 如图正方体被平面 分割成的较小部分的体积为 ，
而较大部分的体积为 ，则正方体被面 分割成两部分的体积比为 ，故 A 正确；
对于 B，连接 ，设交点为点 ，则 ，
因 平面 ， 平面平面 ，则 ，
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又 平面 ，故 平面 ，
则点 C 到平面 的距离即 ，故 B 正确；
对于 C，因四面体 的外接球即正方体 的外接球，
故其半径为 ，其体积为 ，故 C 正确；
对于 D，连接 ，交 于点 ，连接 ，因 平面 ， 平面 ，则
，
又 ， 平面 ，则 平面 ，
因 平面 ，故 ，即 是二面角 的平面角，
因 ，故 D 错误
故选：ABC.
11. 已知直线 和圆 相交于 M，N 两点，则下列说法正确的
是（ ）
A. 若直线不过第四象限，则
B.
C. 的最小值为
D. 圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A，直线变形后求出所过定点坐标得解；对 B，数形结合得到当 时，圆心到直线 的距
离最大， 最小，由垂径定理求出 的最小值；对 C，表达出 ，求出最小
值；对 D，由题可得圆心到直线的距离 ，从而求出 .
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【详解】对于 A，根据题意 变形为 ，
直线恒过定点 ，直线不过第四象限， ，故 A 错误；
对于 B，由题意可知，当 时，圆心到直线 的距离最大，此时 最小，
圆 ，圆心 ，半径 ，
其中 ，
此时 ，又因为此时 ,而直线 不可能表示
,所以 ,故 B 正确；
对于 C， ，
因为 的最小值为 ，
如图，当 三点共线时， 的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D， ，因为圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，
所以圆心到直线的距离 ，
即 ，解得 ，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 若向量 ， ，且 与 的夹角余弦值为 ，则 等于____________
【答案】
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【解析】
【分析】根据向量的夹角公式求解.
【详解】由已知有： ，解得 ，
由 ，可知 ，所以 .
故答案为： .
13. 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这 50 名学生成绩的
分位数为____________分．
【答案】86.25
【解析】
【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率及百分位数的求法估计 分位数即可．
【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为 ，
前五个小矩形的面积之和为 ，
因此 分位数位于 内， ，
所以估计这 50 名学生成绩的 分位数为 86.25 分．
故答案为：86.25
14. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 为平面 内一动点，且 ，设
点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是______.
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【答案】
【解析】
【分析】连接 分别交平面 ，平面 于点 ， ，根据 为定值，计算得 到平面
的距离，得点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 在平面 的投影 是以 为圆心，
为 半 径 的 圆 ， 计 算 到 直 线 的 距 离 为 ， 进 而 得 到 到 直 线 的 距 离
.
【详解】
如图，正方体 中， 平面 ， 平面 ，
连接 分别交平面 ，平面 于点 ， ，则 ，
由 得 ,解得
同理 ，故
因为 ，所以 ，
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所以动点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；
所以点 在平面 的投影 是以 为圆心， 为半径的圆；
设点 到直线 的距离为 ，
又点 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，
所以点 到直线 的距离 ，
故答案为：
四、解答题
15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）求过点 且与直线 平行的直线的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得直线 的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为 3，代入点斜式方程可得结果.
【小问 1 详解】
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由 ， 可知 ，
故所求直线的方程为 ，
即 .
【小问 2 详解】
易知 ，
则所求直线的斜率为 3，
故所求直线的方程为 ，
即 .
16. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得 ，进而得到 ，根据角 的范
围即可求解；
（2）由 ，求得 ，由 得 ，由余弦定理得 ，即可求得 的周长.
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
若 ，则 ，不合题意，故 ，所以 ，
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又因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 的面积为 ，可得 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，由余弦定理 ，
可得 ，所以 ，
所以 的周长为 .
17. 已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线 l：x﹣y+3＝0．当直线 l 被圆 C 截得的弦长为
时，求
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆 C 相切的切线方程．
【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0 或 x＝3．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l
的距离 d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于 a 的
方程，求出方程的解即可得到 a 的值，然后由 a 大于 0，得到满足题意 a 的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出 a 的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在
圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到 x＝3 为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率
为 k，由（3，5）和设出的 k 写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用
点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，让 d 等于圆的半径即可列出关于 k 的方程，求出方程的解
即可得到 k 的值，把 k 的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的
方程．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心 C（a，2），半径 r＝2，
则圆心到直线 l：x﹣y+3＝0 的距离 ，
由勾股定理可知 ，代入化简得|a+1|＝2，
解得 a＝1 或 a＝﹣3，
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又 a＞0，所以 a＝1；
（Ⅱ）由（1）知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径 r＝2
由（3，5）到圆心的距离为 r＝2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为 y﹣5＝k（x﹣3）
由圆心到切线的距离 d r＝2，
化简得：12k＝5，可解得 ，
∴切线方程为 5x﹣12y+45＝0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为 x＝3 与圆相切．
由①②可知切线方程为 5x﹣12y+45＝0 或 x＝3．
【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵
活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题
18. 如图，在梯形 中， 为直角， ， ，将三角形 沿
折起至 .
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）设 是 的中点，若二面角 为 30°，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）120°.
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形性质、余弦定理及勾股定理可得 ，法一：由面面垂直的性质有 CD⊥
平面 PBD，再由线面垂直的性质和判定可得 PB⊥面 PCD，最后由线面垂直的性质证结论；法二：取 BD 中
点 Q，连接 CQ、PQ，易得 PQ⊥BD，再由面面垂直、线面垂直的性质可得 PQ⊥CQ，进而应用勾股定理即
可证结论.
（2）法一：设 、 分别是 、 的中点，连接 、 ，易知 是二面角 的
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平面角，在面 上过 作 并构建直角坐标系，设 ，根据已知确定相关
点坐标，进而求面 、面 的法向量，根据已知二面角的大小及空间向量夹角的坐标表示求参数 即
可；法二：由 PQ⊥BD，取 BC 中点 F，连接 QF，易得∠PQF 为二面角 P-BD-C 的平面角，连接 PF 交 BE
于 M，连接 QM，再由线面垂直的性质有 BD⊥QM，则∠MQF 为二面角 E-BD-C 的平面角，最后由
及三角形面积公式求∠MQF.
【小问 1 详解】
由题设知：△PBD 为等腰直角三角形且 PB⊥PD，PB=PD= ，则 BD=4，
又∠DBC=45°，BC= ，在△BCD 中由余弦定理得：CD=4，
所以 ，即 ，
法一：又面 PBD⊥面 BCD，面 PBD 面 BCD=BD， 面 ，
所以 CD⊥平面 PBD， 面 PBD，则 CD⊥PB，又 ，
所以 PB⊥面 PCD， 面 PCD，则 PB⊥PC.
法二：取 BD 中点 Q，连接 CQ，
在 Rt△CDQ 中 ,
连接 PQ，则 PQ=2 且 PQ⊥BD，
又面 PBD⊥面 BCD，面 PBD 面 BCD=BD， 面 PBD，
所以 PQ⊥面 BCD， 面 BCD，则 PQ⊥CQ，
在 Rt△PQC 中 ，又 ，
所以，在△PBC 中 ，即 PB⊥PC.
【小问 2 详解】
法一：设 、 分别是 、 的中点，连接 、 ，则 ， ，
又 ，则 面 ，
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所以 是二面角 的平面角.
在面 上过 作 ，
如图以 为原点，直线 为 x 轴，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系．
则 ， ， ，设 ， ，
则 ， ，故 ， ．
设面 的法向量为 ，则 ，取 ，得
．
显然平面 的一个法向量为
因为，二面角 为 ，则 ，
整理得 ，解得 ，所以 ，
所以，二面角 的大小为 .
法二：由（1）法二：PQ⊥BD，取 BC 中点 F，连接 QF，则 QF∥CD 且 QF= CD=2，
所以 QF⊥BD，又 ，则 面 ，则∠PQF 为二面角 P-BD-C 的平面角，
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连接 PF 交 BE 于 M，连接 QM，且 QM 平面 PQF，
所以 BD⊥QM，则∠MQF 为二面角 E-BD-C 的平面角，且∠MQF=30°，
易知：M 是△PBC 的重心，则 ，即 ，
所以∠PQM=90°，故∠PQF=120°，即二面角 P-BD-C 的大小是 120°.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散
曲率为 ，其中 为多面
体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体
M 的所有以 P 为公共点的面．
（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥 中， 平面 ABC， ， ，三棱锥 在顶
点 C 处的离散曲率为 ．
①求直线 PC 与直线 AB 所成角的余弦值；
②若点 Q 在棱 PB 上运动，求直线 CQ 与平面 ABC 所成的角的最大值．
【答案】（1）2 （2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可
（2）①首先证明 ，再由 点处的离散曲率可求出 ，从而其它相应的线段都可计算，
把 与 平移至中位线处，得出 为异面直线 与 的夹角或其补角，在用余弦定理求解即
可.
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②首先是把线面角做出，设 ，再把角的三角函数值表示成 的函数，最后转化为函数最值问题.
【小问 1 详解】
由离散曲率的定义得： ，
，
，
，
四个式子相加得： .
【小问 2 详解】
①如图，分别取 的中点 ，连接 ，显然有 ，
所以 为异面直线 与 的夹角或其补角，设 ，因为 ，所以
， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ，
，
因 ， ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
由 点处的离散曲率为 可得
，
所以 ， ， ，而 ，
，
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所以 ，故异面直线 与 的夹角的余弦值为
.
②如图，过 点做 交 与 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角，设 ，
在 中 ，
因为 ，所以 ，所以
，
故 ，
当分母最小时， 最大，即 最大，此时 ，即 （ 与 重合），
，所以 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出 ，从而计算出
各边的长度，求 与平面 所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设 ，再把角的三角函
数值表示成 的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题
.
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