河北省衡水市2025_2026学年高三数学上学期第一次月考试题含解析

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A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解.
【详解】根据题给条件：可知，所以
即.
集合
则，元素个数为4.
故选：B.
2. 已知，则与大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比较法求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
3. 某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m.
【详解】由，即，故．
“”是“”的必要不充分条件且．
由且，结合，
故
故选：C
4. 已知函数，则的值为（ ）
A. 24B. 4C. 12D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由，则，从而可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：A.
5. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且，
则，可得，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：C.
6. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意，
当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意，
当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得，
综上可得，
故选：A
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合对数函数单调性得到，从而比较出大小.
【详解】因为，所以．
故选：A
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数与是同一个函数
B. 函数的单调递增区间是
C. 若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是
D. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：求函数定义域，结合函数相等分析判断；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据偶函数以及对称性的定义分析判断.
【详解】对于选项A：令，解得，
可知函数的定义域为，
令，解得或，
可知函数的定义域为，
两者定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故A错误；
对于B：令，解得或，
可知函数的定义域为，
又因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增，
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的单调递增区间是，故B错误；
对于选项C：例如，可知函数的最大值为3，最小值为1，
但的值域是，故C错误；
对于选项D：若是偶函数，则，
所以函数的图象关于直线对称，故D正确；
故选：D.
二、多选题
9. (多选) 下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和基本初等函数的单调性，逐一判断选项所给函数是否符合要求，得出结果.
【详解】因为，所以是偶函数， 当时，为增函数，故A正确；
函数是奇函数，不满足条件，故B错误；
因为，所以是偶函数， 当时，是增函数， 故C正确；
为非奇非偶函数，不满足条件，故D错误.
故选： AC．
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，即可判断AB，根据基本不等式即可判断CD．
【详解】若，，则，故错误；
若，，例如，则，，此时，故B错误；
，∴，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
，，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，故D正确．
故选：CD．
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称B. 在上单调递减
C. 当时，D. 的值域是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据偶函数的定义分析判断；对于B：整理可得，根据单调性的性质分析判断；对于C：代入运算分析判断；对于D：利用二次函数的值域结合不等式的性质运算求解即可.
【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为，
又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C：当时，，故C正确；
对于选项D：因为，则，即，
可得，所以的值域是，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指对数互化，即可求解.
【详解】因为，得到，
又，所以，
故答案为：.
13. 若集合中只有一个元素，则_________.
【答案】0或1
【解析】
【分析】分和时分别讨论计算求解即可.
【详解】因集合中只有一个元素，
则当时，方程为，解得，即集合，则，
当时，由，解得，集合，则，
所以或.
故答案为：0或1
14. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上，
又当时，恒成立，则或，
整理得到或，
解得或或，所以，
故答案为：.
四、解答题
15. （1）若，求的值；
（2）计算：.
【答案】（1）3；（2）7
【解析】
【分析】（1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果；
（2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】（1），
.
（2）原式
.
16. 已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，且，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集为，可得且和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求解；
（2）由，可得，再结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以，且的两根为和，
则根据韦达定理，可得，解得；
【小问2详解】
由，可得，化简得.
又，所以，
当且仅当时，即时等号成立.
17. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示：
单位：人
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？
（2）从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
【答案】（1）能 （2）分布列见详解；
【解析】
【分析】（1）计算出，与对照比较即可得出结论；
（2）由题知抽取男人8人，女人3人，可取0,1,2,3，再根据组合计算出相关概率，写出分布列，计算期望即可.
【小问1详解】
由题可知，
所以能认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联.
【小问2详解】
根据题意可知抽取得男大学生有人，女大学生3人，
则再从这11人中选取3人中，女生人数可取0,1,2,3，
，
，
所以的分布列为：
期望.
18. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由为偶函数得，代入即可求解；
（2）由（1）知：，又得，即，令，得，利用二次函数即可求解.
【小问1详解】
由已知得，
故，
化简得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
由化简得，
即，
故有两个不等的实数解，
令，即有两个不等的实数解，
令，
故在单调递减，在上单调递增，
又，
故实数的取值范围为.
19. 设函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【小问1详解】
因为，则，解得，故，
所以，所以，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，则，
当时，则，
即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
性别
篮球运动
合计
喜欢
不喜欢
男
40
20
60
女
15
25
40
合计
55
45
100
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
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