河北省正定中学2025-2026学年高二上学期第一次月考（11月）数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 若直线 ， ，则下列向量可以作为直线 的方向向量的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，已知在长方体 中， ，则 和 BG 所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线 与 平行，则实数 的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 2 或 3
5. 袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，
则两次都摸到红球的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 已知圆 C： ，D 是圆 C 上的动点，点 ，若动点 M 满足 ，则点 M 的
轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 ： ，点 ，O 是坐标原点．若点 B 在 上，则 面积
最大值为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
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8. 已知直线 恒过定点 A，圆 上的两点 ，
满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 若直线倾斜角 ，则斜率 的取值范围是
B. 若两直线平行，则两直线的倾斜角必相等
C 若直线 与 互相垂直，则
D. 若直线 与 平行，则 与 的距离为
10. 如图正方体 的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 正方体被面 分割成两部分的体积比为
B. 点 C 到平面 的距离为 .
C. 四面体 的外接球体积为
D. 二面角 的大小为
11. 已知直线 和圆 相交于 M，N 两点，则下列说法正确的
是（ ）
A. 若直线不过第四象限，则
B.
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C. 的最小值为
D. 圆 上到直线 的距离为 的点恰好有三个，则
三、填空题
12. 若向量 ， ，且 与 的夹角余弦值为 ，则 等于____________
13. 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这 50 名学生成绩的
分位数为____________分．
14. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 为平面 内一动点，且 ，设
点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是______.
四、解答题
15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）求过点 且与直线 平行的直线的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程.
16. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．
（1）求 ；
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（2）若 ，且 面积为 ，求 的周长．
17. 已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线 l：x﹣y+3＝0．当直线 l 被圆 C 截得的弦长为
时，求
（Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆 C 相切的切线方程．
18. 如图，在梯形 中， 为直角， ， ，将三角形 沿
折起至 .
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）设 是 中点，若二面角 为 30°，求二面角 的大小.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散
曲率为 ，其中 为多面
体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体
M 的所有以 P 为公共点的面．
（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥 中， 平面 ABC， ， ，三棱锥 在顶
点 C 处的离散曲率为 ．
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①求直线 PC 与直线 AB 所成角的余弦值；
②若点 Q 在棱 PB 上运动，求直线 CQ 与平面 ABC 所成的角的最大值．
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