江西省南昌十中2025-2026学年高三（上）期末数学试卷

这是一份江西省南昌十中2025-2026学年高三（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x30,00,b>0)的左，右焦点，以F1F2为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点P，过点P作另一条渐近线的垂线，点F1恰在此垂线上，则双曲线C的离心率为 ．
14.设满足方程(2alna−b)2+(c2−mc+3+d)2=0的点(a,b)，(c,d)的运动轨迹分别为曲线M、N，若在区间[1e,e]内，曲线M，N有两个交点(其中e=2.71828…是自然对数的底数)，则实数m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记数列{an}的前n项和为Sn其中a1=−12，an≠0，对任意的n∈N*，有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1−12an+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn．
16.(本小题15分)
自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目.旗下一款机器人Unitree Alieng在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Alieng在某地区2024年1月至5月的销售量如表所示：
(1)经计算样本的相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；
(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望．
附：经验回归直线y​=b​x+a​中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−．
17.(本小题15分)
△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知cs(B−C)−csA=12，且a2=bc．
(1)证明：△ABC为等边三角形；
(2)如图，若△ABC边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点，当AD=2DC时，求重叠部分DEF的面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x−alnx+4a，(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x>1时，不等式f(x)≥4a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)令g(x)=f(x)+csx，若存在x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2时，g(x1)=g(x2)，证明：x1x20，
设m(t)=t−1 t−lnt(t>1)，则m′(t)=( t−1)22t t>0，
所以m(t)在(1,+∞)上单调递增，所以m(t)>m(1)=0，
所以x1x2−1> x1x2lnx1x2，即x1−x2lnx1−lnx2> x1x2成立，
所以a> x1x2，即x1x20两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
(2)参变分离可得a≤2xlnx在(1,+∞)上恒成立，设y=2xlnx，x∈(1,+∞)，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解；
(3)根据题意可得a(lnx1−lnx2)=2(x1−x2)−(csx1−csx2)，通过构造函数h(x)=x+csx，求函数单调性及参变分离可得a>x1−x2lnx1−lnx2，令t=x1x2(t>1)，通过导数得m(t)=t−1 t−lnt(t>1)的单调性，即可证明m(t)>m(1)=0，从而可证明x1x20，得k2−m2+2>0．
又x1+x2=−2kmk2+2，x1x2=m2−2k2+2，
所以y1y2+2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)+2x1x2=(k2+2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
即(k2+2)(m2−2)−2k2m2k2+2+m2=0，化简得k2−2m2+2=0．
所以点O到直线MN的距离为d′=|m| 1+k2，
则d′2=m21+k2=12(1+1k2+1)∈(12,1]，所以d′∈( 22,1]．
故点O到直线MN的距离的取值范围为( 22,1]．
(1)证明出OO′⊥AB，OO′⊥CD，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
(2)以O为坐标原点，OD、OB、OO′所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设BB′=h，M(x,y,0)，则y22+x2=1，求出点M到直线OB′的距离d，结合三角形的面积公式以及△OMB′为定值，求出h的值，即可得解；
(3)设M(x1,y1,0)、N(x2,y2,0)，利用空间向量法可得出y1y2+2x1x2=0，设直线MN在xOy平面内的方程为y=kx+m，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，代入y1y2+2x1x2=0，可得出k2−2m2+2=0，进而可求出点O到直线MN的距离的取值范围．
本题考查立体几何与椭圆的综合应用，属难题．月份x
1
2
3
4
5
销售量y/台
26
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50
64
93
x
0
1
2
P(x)
110
35
310