云南昆明市富民县2025-2026学年上学期高二期末考试数学试卷（含答案）

这是一份云南昆明市富民县2025-2026学年上学期高二期末考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A. 4B. 5C. 8D. 9
2.若i2025z=2−i，则z=( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
3.双曲线C:x225−y212=1的渐近线方程为( )
A. y=±2 35xB. y=± 306xC. y=± 133xD. y=± 54x
4.已知实数x，y满足4x−3y+2=0，则 (x−1)2+(y−1)2的最小值是( )
A. 35B. 45C. 1D. 25
5.在▵ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,N为BC的中点，则AC⋅AN=( )
A. 0B. 16C. 40D. 32
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知定义在区间−2,2上的奇函数fx在区间−2,0上单调递减，若flnx+f1a2
C. 数列Sn有最小项D. Snn是等差数列
10.下列说法中正确的是( )
A. 函数y=sinx+π2是偶函数
B. 存在实数α，使sinαcsα=1
C. 若α,β都是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ
D. tan25∘+tan35∘+ 3tan25∘tan35∘= 3
11.过抛物线E:y2=2pxp>0的焦点F作直线l与抛物线E交于A､B两点，再过A､B两点分别作抛物线E的切线l1､l2，两切线l1､l2相交于点M，其中A､B两点最短距离为4，则下列选项正确的是( )
A. p=2B. 若AF=3FB，则直线l的倾斜角为π3
C. 点M一定在抛物线E的准线上D. ▵MAB的面积的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是等比数列，若a3、a7分别是函数y=x2+4x+2的两个零点，则a5= ．
13.已知圆O:x2+y2= 4，过M(1,3)作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为__________．
14.在三棱锥A1−ABC中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=60 ∘，当三棱锥A1−ABC的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C=sin2A+sin2B−sinA⋅sinB．
(1)求角C的大小；
(2)若a=2，c=2 3，求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
某校对高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照30,50,50,70,70,90,90,110110,130,130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)计算频率分布直方图中a的值，并且估计该校高一期中数学考试成绩的中位数；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至多有1人成绩在[50,70)内的概率．
17.(本小题15分)
已知数列an是首项为2，各项均为正数的等比数列，且a4是6a2和a3的等差中项．
(1)求an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=1lg2an⋅lg2an+1，求bn的前2024项和T2024．
18.(本小题17分)
如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2,∠ABC=60∘,M是AB的中点．
(1)求证：EM⊥AD；
(2)求二面角A−BE−C的余弦值；
(3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面PDE所成的角的正弦值为34？若存在，求出EPEC的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1、F2，离心率为 22，C上有一动点P，当▵PF1F2面积最大时面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率存在的直线与椭圆C交于A、B两点，▵AOB面积为 64，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点Q，OQ=λOE，求λ．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.D
6.C
7.C
8.A
9.AD
10.AD
11.ACD
12.− 2
13.150°
14.163π/16π3
15.解：(1)在▵ABC中，sin2C=sin2A+sin2B−sinA⋅sinB，
由正弦定理得c2=a2+b2−ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=12，而00，则an=2qn−1，
因为a4是6a2和a3的等差中项，所以2a4=6a2+a3，
即2×2q3=6×2q+2q2，
解得q=2或q=−32(舍去)或q=0(舍去)，
所以an=2×2n−1=2n;
(2)由(1)知an=2n，
∴bn=1lg22n⋅lg22n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴Tn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1，
∴T2024=20242025，
故bn的前2024项和T2024=20242025．

18.解：(1)由EA=EB，M是AB的中点，得EM⊥AB，
又平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EA⊂平面ABE，
所以EM⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，
所以EM⊥AD．
(2)在菱形ABCD中，由∠ABC=60∘，得▵ABC是正三角形，则MC⊥AB，
由(1)知EM⊥平面ABCD，则直线MB,MC,ME两两垂直，
以点M为原点，直线MB,MC,ME分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则M(0,0,0),A(−1,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),E(0,0, 3)，
BC=(−1, 3,0),BE=(−1,0, 3)，设平面BCE的法向量m=(x,y,z)，
则，令z=1，得m=( 3,1,1)，而平面ABE的法向量MC=(0, 3,0)，
cs⟨m,MC⟩=m⋅MC|m||MC|= 3 5× 3= 55，显然二面角A−BE−C的大小为锐角，
所以二面角A−BE−C的余弦值为 55．
(3)假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面PDE所成的角的正弦值为34，
AE=(1,0, 3),EC=(0, 3,− 3)，设EP=λEC=(0, 3λ,− 3λ),0≤λ≤1，
则AP=AE+EP=(1, 3λ, 3− 3λ)，而DC=AB=2,0,0，
设平面PDE的法向量n=(a,b,c)，则，
令z=1，得n=(0,1,1)，
因此|cs⟨AP,n⟩|=|AP⋅n||AP||n|= 3 4−6λ+6λ2⋅ 2=34，解得λ=13或λ=23，
所以在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面PDE所成的角的正弦值为34，且EPEC=13或EPEC=23．

19.解：(1)当点P为椭圆短轴顶点时，▵PF1F2的面积取最大值，即12×2b×c=bc=1①，
又因为ca= 22②，a2=b2+c2③，
联立①②③可得a= 2，b=c=1，故椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)设直线AB的方程为y=kx+m，设点Ax1,y1、Bx2,y2，
联立y=kx+mx2+2y2=2可得2k2+1x2+4kmx+2m2−2=0，
Δ=16k2m2−4×2k2+1×2m2−2=82k2+1−m2>0，
可得m20，即点Q−2kmλ2k2+1,mλ2k2+1，
将点Q的坐标代入椭圆C的方程得−2kmλ2k2+122+m2λ22k2+12=1，
即λ2⋅m22k2+12k2+12=1，则λ2=2k2+1m2，所以2k2+1=λ2m2⑤，
⑤代入④可得 λ2−1λ2= 34，整理可得3λ4−16λ2+16=0，
即3λ2−4λ2−4=0，可得λ2=43或λ2=4，
因为λ>0，解得λ=2 33或λ=2．