2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习九：一次函数与角度相关问题综合训练

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(1)求的值．
(2)求点E到y轴的距离．
(3)若点P是y轴上一点，当时，求点P的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．

(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．
3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．
(1)求出直线的函数解析式；
(2)若点是直线上一点，且，求点的坐标；
(3)点为轴上一点，当时，请求出满足条件的点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D．
(1)求点A、B的坐标和线段的长；
(2)证明；
(3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标．
5．如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点；
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上运动的过程中，连接，若，求点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，为中点，为直线上任意一点．
(1)当点的横坐标为1时，求直线的表达式；
(2)当直线将的面积分为两部分时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．设，将直线绕点A按某一方向旋转后交y轴于点．
(1)分别求出点A和点B的坐标；
(2)若，当点C在点B的上方时，求此时点C的坐标；
(3)若，则y轴上是否存在点C？若存在，请求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)在（2）条件下，当点在第二象限时，在轴有一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
9．如图，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求点的坐标及直线的函数关系式；
(2)若点在线段上，过点作轴的平行线，交直线于点交直线于点．
①如图，当点在线段上时，的面积为，求与之间的函数关系式；
②连接，若，求点的坐标．
10．如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标；
(3)点是直线上的一个动点，连接，请直接写出使是直角三角形的点坐标___________
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，．
(1)求k的值；
(2)点P在直线上，连接．若，求点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，且，求点Q的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为直线的动点，若，请求出点的坐标；
(3)直线上是否存在一个点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且．
(1)求点坐标及直线的解析式；
(2)为轴上一个动点，当时，求点坐标；
(3)为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标．
14．如图1，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和．点是第四象限内一点，连接，过点作交直线于点，且，过点作轴交于点．
(1)求证：点的横坐标为一定值；
(2)连接，如图2，若点的横坐标为，求的面积；
(3)如图3，过点作轴，连接．若，求点的坐标．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角．
(1)求边的长和点C的坐标．
(2)如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式．
(3)在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点，
∴，解得：．
（2）解：∵．
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，即，
∵直线垂直于点E
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴，
∴点E到y轴的距离．
（3）解：∵，,
∴
如图：在直线上截取，连接交y轴于点P，
∴是等腰直角三角形，，
设点F的坐标为，
∵，
∴，解得：或，
∴点F的坐标为或，
当点F的坐标为时，
设直线的解析式为，
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即点P的坐标为．
当点F的坐标为时，同理可得：点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或．
2．【详解】（1）解：直线与y轴交于点，
令，得，
，，
，
，，
直线过、两点，
，解得，
直线的解析式为：；
（2）解：直线与直线交于点，
，解得，
，
直线与轴交于点，
令，得，解得，
，
过作轴垂线交于点，交轴于点，
设，则，，
情况1，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况2，如下图，当点在点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况3，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况4，如下图，当点点左侧点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况5，如下图，当点点左侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
综上所述，点坐标为：或；
（3）解：由（2）得，，则，
由（1）得，
，
点为直线上的一个动点，
设，
，，
，
记直线与直线交于点，
过点作轴于点，交直线于点，
则，，
，，，，
是等腰直角三角形，，，，
，
，
当在轴右侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
当在轴左侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
综上所述，的坐标为和．
3．【详解】（1）解：，
当时，，当时，，
，，
点M为线段的中点，
，
设直线的函数解析式为，
将代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∵点是直线上一点，
设
∴
解得
∴或；
（3）解：分两种情况：
当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图：
此时，
，
当时，，
；
当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：，
，
设，
则，
，
解得，
，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
，
当时，，
，
综上，或．
4．【详解】（1）解：∵
∴当时，
∴
∴当时，
∴
∴
∴，
∴；
（2）证明：∵垂直平分
∴点E是的中点，
∵，
∴点E的坐标为；
∵轴于点D．
∴，，
∴
∵
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
由题意得，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
由（2）知，
∴，
而，
∴，
∴，
设直线，
∴
解得，
∴直线
设，
由得，，
整理得，
即
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
5．【详解】（1）解：函数与轴交于点，与轴交于点，，
当时，；当时，，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴直线；
（2）解：①设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，；当时，；
综上：或；
②∵，，，
∴，，
当点在轴的左侧时：
∵点与点关于轴对称，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，解得
∴；
当点在轴的右侧时，
同理可得；
综上，点的坐标为或．
6．【详解】（1）解：为直线上任意一点，且点的横坐标为1，
，
的图象与轴，轴分别交于两点，
，
为中点，
，
设直线为，
将分别代入得，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，，
，
直线将的面积分为两部分，
①当点在线段上时，
，
，
，
；
②当点在延长线上时，
设直线交轴于点，
，
，
，
则同理求出直线的关系式为：，
联立，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：①当时，过点作交于点，作轴于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
同理求出直线，
又，
，解得，
，
联立，解得，
；
②当时，过点作交于点，作轴于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
此时点与点重合，
直线，
又，
，解得，
，
联立，解得，
．
7．【详解】（1）解：对于，
当时，，
，
当时，，
，
；
（2）解：，，
，；
在中，，
，
直线绕点A沿顺时针旋转后交y轴于点C，
，
，
，
，
，
.
（3）解：存在，
证明：情况1：若直线绕点A按逆时针方向旋转，
当时，直线平行于y轴，
此情况不成立.
情况2：若直线绕点A按顺时针方向旋转后交y轴于点C，
当，
，
，
，
设，则，由于点C在y轴负半轴，故，
在中，，
，
∴，
解得，
.
8．【详解】（1）解：由直线可得，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是直线上一动点，
设，
∴当在线段上时，，
则，
∴，
解得：，
∴；
当在线段延长线上时，，
则，
∴，解得：，
∴；
综上可得：当时，点的坐标为或；
（3）解：由直线可得，当时，；当时，；
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在轴正半轴上时，过作，交延长线于点，过作轴，过作于点，过作于点，延长交轴于点，设与轴交于点，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
设直线解析式为，则，
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点；
如图，当点在轴负半轴上时，过作，交延长线于点，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，交轴于点，设与轴交于点，
同理可得：，直线解析式为，
∴，，
设，则，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴点；
综上可得：符合条件点的坐标为或．
9．【详解】（1）解：由，令，得，
∴，
由得，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：①∵点，则点，点，
过点作于点，则，如下图所示：
则,
又∵，
∴的面积为，
则（）．
②如图，当点在轴的左侧时，如下图所示：
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则,
∴，
，
，
∴，得，
解得，
∴；
当点在轴的右侧时，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则,
∴，
，
，
∴，得，
解得，
∴；
综上，点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴点，即，
∵，
∴，即点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：对于，
当时，，
∴点，
点是的中点，点，点，
点，
设点，
如图，当点在点下方时，过点作交直线于，过点作，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∴点坐标为；
当点在点上方时，构造同样辅助线：
同理，
，
，
，
，
，
此时点N与点B重合，不符合题意；
综上所述：点；
（3）解：设点，
∵点，点，
∴，，，
当时，，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
11．【详解】（1）解：∵直线与y轴交于B点，
∴
∴
∵
∴
∴，
将代入可得：，解得：．
（2）解：如图：由（1）可知，，，
∴
∵
∴，
设
∴，即，解得：
∴，
∴或．
（3）解：如图：设点，过Q作交于M，设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，
解得：或，
∴点Q的坐标为或．
12．【详解】（1）解：∵在上，
∴
设，
将、代入表达式得
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：设，
∵、
∴
∵
∴
∴或
当时，
当时，
∴点的坐标为或
（3）解：存在．
理由如下：
由（1）知直线的解析式为，
当时，，解得，
∴直线交轴于点，
作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，如图所示：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴．
13．【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由（1）知，，
∴，
①如图：当点位于点右侧时，令
∵且
∴
∴
即：
又∵
∴
解得
所以
②如图：当点位于点左侧时，令
∵且
∴
∴
即：
∴解得所以
（3）解：设，，
当为菱形的对角线时，，
∴，解得：，
∴，
当为菱形的对角线时，，
∴，解得：或，
∴，，
当为菱形是对角线时，，
∴，解得：（舍去）或，
∴，
综上：，，，
14．【详解】（1）证明：设直线表达式为，
将点和代入，得
，
解得．
所以，直线表达式为．
过点作轴，交y轴于点E，交的延长线于点F，如图1，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设点坐标，点的横坐标为，
则，
又，
，
，
解得：
点的横坐标为定值2．
（2）解：如图2，点的横坐标为，
，
，
（3）解：延长和交于点，过作轴于点，连接，设点坐标，如图3，
由（1）知，
∴，
又，
垂直平分，
，延长交于点．
，
．
由
，
则，
即．
过作交于点
，
在中，由勾股定理可得：
由
垂直平分，则
解得：
点C坐标为．
15．【详解】（1）解：过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
∴，，
∵等腰直角，
∴，
设点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：∵点坐标为，点A坐标为，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴，，
设直线对应的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线对应的函数表达式为．
（3）解：如图，过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点，
由（2）可知等腰直角向右平移4个单位，记平移后的三角形为，
∴点坐标为：，，，
∵等腰直角，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴设直线为：，
故，
∴，
∴直线为：，
∵为与的交点，
∴，
解得：，
∴；
∵作关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，即，为中点，
设，
∴，
解得；
∴
∴综上，的点坐标为：或．