专题09 二次函数角度问题分类训练练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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\l "_Tc31833" 【类型1 角相等】1
\l "_Tc16452" 【类型2 角的倍数关系】8
\l "_Tc5338" 【类型3 角互余】16
\l "_Tc31833" 【类型4 已知角的度数】21
\l "_Tc846" 【类型5 角的和差关系】28
►类型1 角相等
1．（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交轴于和，交轴于．
(1)求的值．
(2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为．
①求与的函数解析式．
②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．
2．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
3．（2024·山西晋中·三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q．
(1)求点B，C的坐标；
(2)连接，求的最大值；
(3)连接，当时，请直接写出点P的坐标．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：
(1)求抛物线的表达式；
(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．
①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设DE交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；
(2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标；
(3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标．
6．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究
如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点B4,0，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值；
(3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
►类型2 角的倍数关系
8．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，B0,3．直线经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
9．（2024·福建厦门·模拟预测）抛物线与轴交于点，与轴交于点、，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合），
(1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）．
(2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M，
①求抛物线的解析式
②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
10．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C．
(1)直接写出抛物线的解析式为：__________；
(2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标；
(3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式．
11．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相较于点M，
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)连接，求四边形的面积．
(3)若点E在直线上，且，求点E的坐标．
12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线AD，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
13．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
14．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标．
(3)如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
15．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标；
(3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
►类型3 角互余
16．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
17．（2024·山西太原·二模）综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及点的坐标；
(2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值；
(3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标．
19．（2024·重庆綦江·二模）如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标．
20．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标．
►类型4 已知角的度数
21．（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)连接，当时，求所有符合条件的点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当为直角三角形时，求线段的长度；
(3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为2,0，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标；
(3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积．
24．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
(1)抛物线的表达式为_________；
(2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过原点，且顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点Q的坐标；
(3)如图（2），过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点．
26．（2024·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线L过三点， ．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)在x轴下半部分的抛物线L上有一点M，连接，当为锐角时，设点M的横坐标为m，求m的取值范围．
26．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D
(1)求二次函数的解析式；
(2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标；
(3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标；
27．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点A−4,0、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
►类型5 角的和差关系
28．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标；
(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值．
29．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标．
31．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，若，．请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第四象限的抛物线上，若，则点的坐标为 ．
32．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
33．（2024·湖北咸宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为直线下方抛物线上的动点（不与点C重合），与y轴交于点E，与交于点D．设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线解析式及点B的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)设的面积为，的面积为，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
34．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
35．（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于A−2,0，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；
(3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由．
36．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证：
(3)过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，本题的关键是运用数形结合和分类讨论的思想方法．
x
…
0
1
…
y
…
4
m
n
4
p
…