2026届新高考数学自编模拟卷04（附答案解析）

这是一份2026届新高考数学自编模拟卷04（附答案解析），文件包含2026届新高考数学自编模拟卷04原卷版docx、2026届新高考数学自编模拟卷04解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的运算法则求解即可．
【详解】因为，
所以．
故选：B．
2. 已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可.
【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有，
当时，显然，但是，都不是纯虚数”，
所以“为实数”是“均为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知和的夹角为，且，则（ ）
A. 1B. C. 3D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得.
【详解】因为和的夹角为，，，
所以.
故选：D.
4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，根据展开式中存在常数项，得到且，即可求解.
【详解】由二项式的展开式的通项，
令，得，因为，所以的最小值为.
故选：B.
5. 若函数在点处的切线斜率为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，由已知得 列出方程，求解即可．
【详解】因为，
所以在点处的切线斜率为，解得，
故选：D．
6. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求圆心到直线的距离，由题意可知，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则到直线：的距离，
若圆上有不同的4个点到直线的距离等于1，则，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7. 设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（ ）
A. 无穷B. 4个C. 3个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】根据构成三角形的条件两边之和大于第三边，列出不等式组求解；借助最值解决对任意都满足的问题.
【详解】因为长为的线段均能构成三角形，所以.
由，有，即，
若，则对任意的都成立。
若，则，而当时，有最大值.
要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数.
由，有，即，
所以，因，当时，有最大值.
要使任意的都有，即要，解得.
由，有，即，
若，则对任意的都成立。
若，则，当时，有最小值.
要使任意的都有，即要，解得.
综上，，所以满足条件的有3个．
故选：C
8. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导并计算得出，分析可知，存在，对任意的恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出结果.
【详解】由题意，得，则，
因为在处取得极小值，所以，，
且存在，使得当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，且函数的定义域为，
因为，故函数为奇函数，
则问题等价于：对任意恒成立，
令，则，
若对任意的恒成立，则，解得，
此时函数在上单调递增，当时，，合乎题意；
若对任意的恒成立，则，解得，
此时函数在上单调递减，当时，，不合乎题意；
当时，因函数在上单调递增，
且，，则，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，函数单调递减，，
从而可知，函数在上单调递减，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 设是随机变量，若，则
B. 已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6
C. 二项式展开式中的常数项为
D. 设随机变量，若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，按正态分布的表达含义可得结果；
B选项，按百分位数的求解方法计算即可；
C选项，表达二项式的通项，令字母因数部分指数为零可得解；
D选项，按二项分布的方差公式及性质运算即可.
【详解】A选项：若，则，A选项正确；
B选项：1，2，3，5，6，6，7，9，这组数据已按从小到大排好序，共有8个数据，
上四分位数是第百分位数，因为，结果是整数，
所以百分位数是这组数据中第6个和第7个数的平均数，为，B选项错误；
C选项：二项式的通项为，
令，解得，展开式的第四项为常数项，
为，C选项正确；
D 选项：若，则，
所以中，，
则，D选项错误.
故选：.
10. 如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 四面体的外接球表面积为
C. 与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间关系证明线面垂直和线线垂直，利用直角三角形的性质找到四面体的外接球球心，从而可求球的表面积，也可以建立空间直角坐标系，利用向量法来判断选项．
【详解】
将沿折起，使到，且平面平面，
由于菱形，，所以是等边三角形，
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以
，，两两垂直，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
对于，，
，，
，与不垂直，故A错误；
对于，由菱形，，可知，
因为平面，又因为平面，
所以，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，取的中点为，可得，
又因为平面，又因为平面，
所以，即，
所以有，
则点是四面体的外接球球心，故外接球的半径，
由勾股定理可得：，
，
即四面体的外接球表面积为：，故B正确；
对于C，，
设与所成角为，
则，
所以与所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确．
故选：．
11. 已知函数，的定义域为R，，且，若函数为偶函数，．则（ ）．
A. 为奇函数
B.
C.
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题设条件赋值代入先推出函数为偶函数，判断A项；再利用此结论推出4是函数的一个周期，判断C项；进而赋值代入求出判断B项；最后求出，结合函数的周期即可计算判断D项.
【详解】由得①，又②，
由①②，可得③，因函数为偶函数，则④.
对于A，由①得，则，
代入④，可得，即，故偶函数，故A错误；
对于C，将代入③，得⑤，则有，
两式相减，得，则，故C正确；
对于B，因，代入①，得，
在⑤式中，取，得，
再取，得，因为偶函数，，故，故B错误；
对于D，由上分析，，，
在⑤式中，取，得，即，
再取，可得，即得，
由C项知，4是函数的一个周期，且，
则
，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得.
【详解】由求导可得，则，
因为该切线与直线垂直，则，解得.
故答案为：.
13. 设为函数的定义域，若对于且，都有，则我们称为“不减函数”.已知函数的定义域，值域，则函数为“不减函数”的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用隔板法将定义域中的数分组，计算概率求解.
【详解】把中的个数分成三组为的情况有种，基本事件总数为，
满足函数为“不减函数”，等价于在中间有个空，插入块板分成组，
分别从小到大对应共有种情况，所以函数为“不减函数”的概率为.
故答案为：
14. 如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，则当最大值时，内切圆的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】结合双曲线的定义得在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，进而建立平面直角坐标系，求得双曲线方程为，再根据双曲线的定义转化为，即可得当是射线与双曲线右支的交点时，最大，最后根据等面积法求解即可.
【详解】设圆与的三边分别切于点，
如图，是中点，则，
，
所以，
所以在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，
以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
的轨迹方程为：，
，所以，
由题意，当是射线与双曲线右支的交点时，最大，
直线方程为，
由点在第一象限，解得，即，
，
，
设此时内切圆半径为，
则，所以，所以内切圆面积为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知向量，且.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用和正弦定理求得关于的方程，求解即可.
（2）先利用余弦定理列出的一个方程，再利用基本不等式求出面积的最大值.
【小问1详解】
，
根据正弦定理得，
，，即，
，所以，则，
.
【小问2详解】
由余弦定理，得，
所以.
当且仅当时，等号成立，所以当时，面积有最大值，最大值为.
16. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，.
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【分析】（1）先求出底面的面积，再根据体积公式求出的体积.
（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面与平面的法向量，利用平面角正弦值为列出关于的方程，求解出的值.
【小问1详解】
在底面中，因为是底面直径，所以，
又，故，
所以.
所以.
因为是圆柱的母线，所以面，所以四棱锥的体积为.
【小问2详解】
以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，故.
，
因此，.
，，则
设平面和平面的法向量分别为，
则有：，
取，
设平面与平面的夹角为，则
，
整理得或（无解，舍），由于k为正整数，解得.
17. 自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Alieng在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Alieng在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示：
（1）经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望．
附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】（1） （2）的分布列见解析，数学期望为1.2
【解析】
【分析】（1）由线性回归方程，分别计算各部分的值，代入公式求解即可；
（2）先计算各组数据的残差，再结合超几何分布，得到所有取值的概率，从而得到分布列和数学期望.
【小问1详解】
由表格可得，，，
，，
所以，，
故y关于x的经验回归方程是.
【小问2详解】
当时，，残差的绝对值为；
当时，，残差的绝对值为；
当时，，残差的绝对值为；
当时，，残差的绝对值为；
当时，，残差的绝对值为.
所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据.
故“次数据”对数的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列如下：
的数学期望.
18. 已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．
（1）求的标准方程．
（2）经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．
①若为坐标原点，求的取值范围；
②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．
【答案】（1） （2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，得到，求得其渐近线方程，因为，得到的值，即可求解；
（2）①设其方程为，，联立直线与的方程，结合，求得，
设，，则，，，结合向量的运算得到，即可求得的取值范围；
②求得直线的方程为，令，求得，即可求得
直线过定点．
【小问1详解】
解：由题意得，其中，则，所以，即，
所以的渐近线方程为．
因为，与的一条渐近线垂直，所以，解得，所以，所以的标准方程为．
【小问2详解】
解：显然直线的斜率存在，设其方程为，，联立直线与的方程，消去得，因为直线与的两支分别交于点，，
所以，得，
设，，则，，．①，
所以的取值范围是．
②因为，所以直线的方程为，
由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，
在直线的方程中，令，得
，
所以直线过定点，定点坐标为．
19. 已知
（1）讨论的单调性
（2）对于恒成立；求的取值范围
（3）设，为函数的两个零点；证明．
【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间；
（2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围；
（3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明.
【小问1详解】
定义域，；
当时，的解为，则在上为单调递增函数；
，的解为，的解为，
则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.
综上可知，当时，在上为单调递增函数；
当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.
【小问2详解】
由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，，
不满足，故不成立；
当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.
则当时，取最大值为，令，解得，
故对于恒成立的的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0，
的最大值为，
令，解得，则存在两零点，可得，
设，为函数的两个零点，则，，
解得①，②，
①减去②得到，
解得，要证明，只需证明，
设，
，
则在上是单调递增函数，故，
设，，，，
，，
，，，.
月份x
1
2
3
4
5
销售量y/台
26
37
50
64
93
0
1
2