【数学】浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测高二试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 0B.
C. D. 不存在
【答案】C
【解析】因为直线与轴垂直，因此直线的倾斜角是．
故选：C．
2. 已知空间向量，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】因为空间向量，所以.
故选：B.
3. 火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题，所以，
所以火箭发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为.
故选：B.
4. 已知直线和直线，若，则（ ）
A. B. 2或C. D. 2
【答案】D
【解析】若，则，解得或，
当时，直线，即和直线重合
舍去，
当时，直线和直线，此时符合题意.
综上，.
故选：D.
5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前7项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，.
所以.
所以数列的前7项和为：.
故选：C.
6. 已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，又，则，在定义域上单调递增，
对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，
故，又与的距离越来越大，此时单调递减，
故A错误，
对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方；
交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小，
此时单调递增，故B正确，
对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确，
对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方；
交点之前函数图像一直在图像的下方且与的距离越来越小，
此时单调递增，故D正确，
故选：A.
7. 已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，则，
因为，不妨令在第一象限，则，
所以直线的方程为，
由，解得，所以，则轴，
所以.
故选：B.
8. 正方体的棱长为1，点为直线与平面的交点，则点到正方体各顶点的距离的不同取值有（ ）
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
【答案】C
【解析】因为底面为正方形，所以，
又平面，平面，，
，所以面，
面，所以，
同理，，
所以平面，
由正方体的对称性易知，平面，
点为正三角形的中心，与平面的交点也是正三角形的中心，
故，
，
，
，
故点到正方体各顶点的距离的不同取值有4个．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前4项为，则数列的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，，不符合；
对于B，，符合；
对于C，，不符合；
对于D，，符合，
故选：BD
10. 已知三棱锥中，，，且两两垂直，点是底面内的一个动点．则以下说法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥的外接球的体积为定值
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是一条线段
【答案】ABD
【解析】对于A：因为两两垂直，所以，
因，，，
由线面垂直的判定定理可知，
因为，由线面垂直的性质定理可知，所以A正确；
对于B：因为两两垂直，
所以问题可转化为求分别以为长、宽、高的长方体外接球的体积，
记长方体外接球的半径为，则，
因为长方体外接球半径为定值，所以长方体外接球体积为定值，
即三棱锥外接球体积为定值，所以B正确；
对于C：因为，所以在直角三角形中，，
由选项A知，同理可得，
所以即为直线与平面所成角，
在直角三角形中，，
因为，所以，所以C错误；
对于D：设点到三个侧面的距离依次为，
且，
因为，
，，，
且，，，为定值，所以为定值，
即点到平面的距离为定值，所以点的运动轨迹是一条线段，所以D正确.
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线关于原点对称
B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点
C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形
D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是
【答案】AC
【解析】设曲线上任意一点，
其关于原点的对称点为，
将其代入曲线方程左边可得，
所以曲线关于原点对称，A选项正确；
对于选项B，联立直线与曲线的方程，
得，即，
进一步变形，当时，方程变为，方程无解，
即直线与曲线无公共点，B选项错误；
对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是，
这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时，
根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确；
对于选项D，当圆与相切时，最小，
由，得；
当圆与曲线相切时，最大，
由，得，即，
令，得，由，得，
结合图象知圆与曲线恰有4个公共点，则.
故选项D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________.
【答案】
【解析】连接，设
四边形为平行四边形，即
即为异面直线与所成角
故答案为：.
13. 在等差数列中，，是函数的两个极值点，则___________．
【答案】3
【解析】函数，，
由题意得，是的两个根，
则，
又为等差数列，，所以，
.
故答案为：3.
14. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且．则该双曲线的离心率为___________．
【答案】
【解析】已知，，作，垂直于轴，轴于，两点，
设交轴于，连接，为的角平分线，
由角平分线定理和相似可知，
．
由双曲线定义可知．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）由题意得，，
又，
，公差，
，
又公比，
；
（2）记数列的前项和为，
16. 已知圆，直线．
（1）判断直线与圆的位置关系，试说明理由；
（2）若是圆上任意一点，求的取值范围．
解：（1）直线，
令，则，故直线恒过定点，
而，所以定点在圆的内部，从而直线与圆相交.
（2）设，则，消去并整理得，，
又直线与圆有交点，
由，解得．
所以的取值范围为.
17. 如图，四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，且平面平面，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）过直线作平面与棱，分别交于，两点，其中，求四棱锥的体积．
解：（1）取线段AD的中点，连接，
平面平面，是交线，为正三角形，
所以，进一步可得平面，
又因为，底面为菱形，易知，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为，
所以，
所以，
又，平面，所以平面．
（2）平面的一个法向量，
可知，
设平面的一个法向量，
，
令，则，
设平面与平面所成夹角为，则．
（3）如图所示，,
由题意可知，，
又由（1）可知，
设平面的一个法向量，
，
令，则，
设，
又四点共面，所以，解得，
因为，所以，，
四棱锥的体积
．
18. 已知椭圆过点．过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若的面积为，求直线方程；
（3）点在射线上，若椭圆上存在点使四边形OANM为平行四边形，求的范围．
解：（1）由题意，得，解得，
则椭圆的标准方程为.
（2）易知直线斜率存在，故设直线，
联立方程组，消去得，.
显然，且
则，
解得，所以直线的方程为.
（3）设，
即，而均在椭圆上，
则，
化简得到①，
由（2）得，，
则，
代入①式得到，则，
所以的取值范围是.
19. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）记函数．
（i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：；
（ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围．
（1）解：当时，．
所以，切线的方程是即；
（2）（i）解：可得．
令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
不妨设，令，
则
所以函数在上单调递增，从而
即时，恒成立．
而，从而，又，
，函数在上单调递减．
，得．
令，则，当时单调递增；
当时单调递减，所以，即，
由不等式得，
成立，所以.
（ii）证明：，
整理得．
令，因为在上恒成立，
所以，得，即．
下面证明：当时，在上恒成立．
因为，所以．
设，则．
①当时，由知恒成立，
所以在上单调递增，所以当时，恒成立．
②当时，设，
当时，，则在上恒成立，
所以在上单调递增．
所以当时，，所以在上单调递减，
所以当时，恒成立．
综合①②可知，当时，在上恒成立．
实数的取值范围是.