四川省广元市2025-2026学年高二上学期普通高中期末教学质量监测数学试卷含解析（word版）

这是一份四川省广元市2025-2026学年高二上学期普通高中期末教学质量监测数学试卷含解析（word版），文件包含四川省广元市2025-2026学年高二年级秋季普通高中期末教学质量监测数学试题解析docx、四川省广元市2025-2026学年高二年级秋季普通高中期末教学质量监测数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上.
3. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.
4. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.
5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
6.考试结束后, 只将答题卡交回.
第I卷(选择题 共 58 分)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 直线 x+2y+1=0 的方向向量可以是( )
A. 2,4 B. 2,−4 C. 2,1 D. 2,−1
【答案】D
【解析】
【分析】求出给定直线的斜率, 进而求出它的一个方向向量即可判断.
【详解】直线 x+2y+1=0 的斜率为 −12 ,则该直线的一个方向向量为 1,−12 ,
而选项 ABC 中向量与向量 1,−12 不共线,选项 D 中向量与向量 1,−12 共线.
故选: D
2. 数列 1,−1,1,−1,⋯n∈N∗ 的一个通项公式为( )
A. −1n+2 B. csn−1πC. 1−−1n2 D. sin2n+1π2
【答案】B
【解析】
【分析】分析题干数列可知是 1,-1 交替出现的数列, 逐个分析各个选项是否满足 1,-1 交替出现即可得出答案.
【详解】由题意可知题干数列是 1,−1 交替出现,故其通项公式可以写成 −1n+1 或利用三角函数来写,
对于 A,−1n+2 的第一项为 -1,不符合题意,故 A 错误;
对于 B,n−1π 即为 0,π,2π,⋯ ,对应的余弦值为 1,−1,1,−1,⋯ ,符合题意,故 B 正确;
对于 C,1−−1n2 的前两项依次为1,0,不符合题意,故 C 错误;
对于 D,sin2n+1π2 的第一项为 -1,不符合题意,故 D 错误;
故选B.
3. “ a=1 ” 是 “直线 l1:ax+y−2=0 与 l2:2x+a+1y+2=0 平行” 的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据一般式方程的形式, 结合两直线平行的条件, 列式求解.
【详解】若直线 l1//l2 ,则 a2=1a+1≠−22 ,解得: a=1 .
所以 “ a=1 ” 是 “直线 l1//l2 的充分必要条件.
故选: C
4. 已知随机事件 A 和 B 相互独立,且 PA=0.6,PB=0.75 ,则 PA∪B= ( )
A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法, 即可求得答案.
【详解】因为事件 A 和 B 相互独立, PA=0.6,PB=0.75 ,
故 PAB=PAPB=0.45 ,
所以 PA∪B=PA+PB−PAB=0.9 .
故选A.
5. 已知点 A2,−4 在抛物线 C:y2=2px 上， F 为抛物线的焦点，则 △AOF ( O 为坐标原点)的面积是( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点在抛物线上得出 p ,进而得出焦点 F ,最后计算面积求解.
【详解】因为点 A2,−4 在抛物线 C:y2=2px 上,
所以 16=4p ,即 p=4 ,
则抛物线 y2=8x 的焦点为 F2,0 ,
则 △AOF 的面积是 S△AOF=12OF×yA=12×2×4=4 .
故选: C.
6. 已知圆 C1:x2+y2−2x+my+1=0m∈R 关于直线 x+2y+1=0 对称,圆 C2:x−42+y+52=16 ，则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是( )
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】圆关于直线对称,说明圆心在该直线上,求出圆 C1 的圆心和半径,根据圆的半径与圆心距的关系判断选项.
【详解】由圆 C1:x2+y2−2x+my+1=0 得, x−12+y+m22=m24 ,圆心 C11,−m2 ,半径 r1=m2
圆关于直线 x+2y+1=0 对称,说明圆心在该直线上,
所以, 1+2−m2+1=0 ,解得 m=2 ,故 C11,−1,r1=1 .
由 C2:x−42+y+52=16 得,圆心 C24,−5 ,半径 r2=4 ,
C1C2=4−12+−5+12=32+−42=5,
r1+r2=1+4=5,r2−r1=3,
所以 C1C2=r1+r2 ,所以两圆外切.
故选: C
7. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点,直线 PF1 与 y 轴交于点 A,A 为线段 PF1 的中点,且 OA=14a (其中 O 为坐标原点),则 C 的离心率为( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 62
【答案】B
【解析】
【分析】应用中位线得出点 P 的坐标,根据点在椭圆上计算得出 b2a2 ,最后结合 ca=1−b2a2 计算求解.
【详解】因为 P 是椭圆上一点, A 为线段 PF1 的中点, O 是 F1F2 的中点,
所以 OA//PF2,PF2=2OA ,
设 Pxp,yp ,由 A 为 PF1 中点且在 y 轴上,可得 P 点横坐标 xp=c ,
由 OA=14a 可得 P 点纵坐标 yp=a2 ,
故可取 Pc,a2 ,所以 c2a2+a24b2=1 ,所以 a2=2b2 ,
所以 ca=1−b2a2=22 .
故选: B.
8. 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别为棱 BC,CC1 的中点,过点 A,E,F 作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为( )
A. 2B. 157 C. 177 D. 197
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析可得过点 A,E,F 的截面即为截面 AEFD1 ,截面将正方体分成上、下两部分,其中下部分 ADD1−ECF 为三棱台,结合台体的体积公式分析运算.
【详解】如图,连接 AD1,D1F,BC1 ,
∵E,F 分别为棱 BC,CC1 的中点,则 EF//BC1 ,
又 ∵AB//C1D1 ,且 AB=C1D1 ,则 ABC1D1 为平行四边形,
∴AD1//BC1 ,
可得 EF//AD1 ,
故则过点 A,E,F 的截面即为截面 AEFD1 ,截面将正方体分成上、下两部分,其中下部分 ADD1−ECF 为三棱台,且三棱台 ADD1−ECF 的高为 DC .
设正方体的棱长为 2,则 S△ADD1=12×2×2=2,S△ECF=12×1×1=12 ,
可得正方体的体积 VABCD−A1B1C1D1=2×2×2=8 ,
三棱台 ADD1−ECF 的体积 VADD1−ECF=13×2×2+12+2×12=73 ，
故分成的上、下两部分几何体的体积比为 8−7373=177 .
故选: C.

二、多选题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的不得分.
9. 已知双曲线 C:x29−y216=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是双曲线右支上任意一点,则下列说法正确的是 ( )
A. 双曲线 C 的离心率为 53
B. PF2−PF1=−6
C. PF1 的最小值为 2
D. F2 到双曲线渐近线的距离为 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用双曲线的离心率判断 A 选项; 利用双曲线的定义判断 B 选项; 当点 P 为双曲线右支顶点时 PF1 取得最小值判断 C 选项; 利用点到直线的距离判断 D 选项.
【详解】已知双曲线 C:x29−y216=1 ,则 a2=9,b2=16 ,
c2=a2+b2=25 ,故 a=3,b=4,c=5 ,
则 F1−5,0,F25,0 ,离心率 e=ca=53 , A 选项正确;
由双曲线定义: PF1−PF2=2a ,又点 P 在双曲线右支上,
故 PF2−PF1=−6 , B 选项正确;
当点 P 为双曲线右支顶点时 PF1 取得最小值,
此时 P 点坐标为 3,0 ,则 PF1=3−−5=8,C 选项错误;
取靠近双曲线右支的渐近线方程 y=bax=43x ,化为一般式 4x−3y=0 ,
则点 F2 到双曲线渐近线的距离 d=4×5−3×032+−42=4 ， D 选项正确.
故选: ABD

10. 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球, 其中有 2 个红球, 2 个绿球, 从袋中不放回地随机摸出 2 个球. 记事件 R= “摸出的两个球都是红球”, G= “摸出的两个球都是绿球”, M= “摸出的两个球颜色相同”， N= “摸出的两个球颜色不同”，则下列说法正确的是( )
A. M,N 为对立事件 B. R 与 M 相互独立
C. PR∪G=13 D. PN>2PM
【答案】AC
【解析】
【分析】利用对立事件定义判断 A ,求出 PRPM=118,PRM=16 ,再利用独立事件定义
判断 B ,利用互斥事件的性质求得 PR∪G=13 判断 C ,求出 PN=23,2PM=23 判断 D .
【详解】 M (颜色相同)与 N (颜色不同)互斥,且所有摸球结果必属于其中一个，因此是对立事件，故 A 正确;
从 4 个球中不放回摸 2 个,总样本数为 C42=6,PR=C22C42=16,PG=C22C42=16 ,
所以 PRPM=16×13=118 ,因为 R⊆M ,所以 PRM=PR=16 ,
所以 PRM≠PRPM ,所以 R 与 M 不独立,故 B 错误;
因为 R 与 G 互斥,所以 PR∪G=PR+PG=16+16=13 ,故 C 正确;
因为 PN=23,2PM=2×13=23 ,所以 PN=2PM ,故 D 错误.
故选: AC.
11. 如图,平面四边形 ABCD 是由两个直角三角形拼接而成, AB=BC=CD=1 , ∠ABD=∠C=90∘ . 现在将 △ABD 沿 BD 进行翻折,使得平面 ABD⊥ 平面 BCD ,连接 AC , 得到三棱锥 A−BCD . 若 E,F 分别为 AD,BC 的中点,则下列说法正确的是 ( )
A. 平面 ACD⊥ 平面 ABC
B. 异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 33
C. AB,EF,DC 不共面
D. 三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 3π
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面垂直的性质定理可得 AB⊥ 平面 BCD ,由线面垂直的性质定理可得 AB⊥CD ,再根据面面垂直的判定定理可判断 A ; 建立空间直角坐标系,由异面直线所成角向量法计算可判断 B ; 由 EF=12DC+12AB 可判断 C ; 由 △ABD≅△ACD 且均为直角三角形,得点 E 为三棱锥 A−BCD 外接球的球心，求得半径计算即可求解.
【详解】对于 A ,平面 ABD⊥ 平面 BCD ,交线为 BD,AB⊥BD,AB⊂ 平面 ABD ,所以 AB⊥ 平面 BCD ,
因为 CD⊂ 平面 BCD ,所以 AB⊥CD . 又 BC⊥CD ,且 AB∩BC=B ,所以 CD⊥ 平面 ABC . 因为 CD⊂ 平面 ACD ,所以平面 ACD⊥ 平面 ABC ,故 A 正确;
对于 B ,以 B 为原点,过 B 在平面 BCD 内作 BD 的垂线为 x 轴,直线 BD 为 y 轴,直线 AB 为 z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系,
因为 AB=BC=CD=1,∠ABD=∠C=90∘ ，所以 BD=2 ，
则 B0,0,0,A0,0,1,C22,22,0,D0,2,0,E0,22,12,F24,24,0 ,
所以 AD=0,2,−1,BC=22,22,0 ,
cs⟨AD,BC⟩=AD⋅BCADBC=0,2,−1⋅22,22,03×1=33 ，故 B 正确；
对于 C,AB=0,0,−1,EF=24,−24,−12,DC=22,−22,0 ,
因为 24,−24,−12=12×22,−22,0+12×0,0,−1 ,
即 EF=12DC+12AB ,所以 AB,EF,DC 共面,故 C 错误;
对于 D ,由 A 可知, AC=BD=2,BC=AB=1 ,
所以 △ABD 与 △ACD 都是直角三角形,且 △ABD≅△ACD ,
因为点 E 是 AD 的中点,所以点 E 到 A,B,C,D 的距离相等,
即为三棱锥 A−BCD 外接球的球心,
故球半径为 32 ,则三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 4π×322=3π ,故 D 正确.
故选: ABD
第II卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 an 满足 an+1−an=1nn+1n∈N∗,a1=1 ,则 a3= _____.
【答案】 53 ##1 23
【解析】
【分析】根据累加法求数列的通项公式即可.
【详解】由 an+1−an=1nn+1=1n−1n+1 ,
得 an−an−1=1n−1−1n,an−1−an−2=1n−2−1n−1,⋯,a3−a2=12−13,a2−a1=1−12 ,
以上各式相加,得 an−a1=1−1n ,又 a1=1 ,
所以 an=2−1n ,所以 a3=53 .
故答案为: 53
13. 用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏, 规定: 两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜, 一个正面、一个反面算乙胜. 这个游戏是否公平?_____ (填“公平”或“不公平”).
【答案】公平
【解析】
【分析】列举出抛掷两枚硬币的所有可能结果, 并分别求出甲胜和乙胜的概率, 通过比较两个数值的大小, 即可得解.
【详解】抛掷两枚硬币,共有正正,正反,反正,反反共 4 种结果.
甲胜的情况是正正,反反共 2 种情况,所以甲胜的概率为 P甲胜=24=12 ;
乙胜的情况是正反,反正共 2 种情况,所以乙胜的概率为 P乙胜=24=12 .
因为甲胜和乙胜的概率 P甲胜=P乙胜 ,所以这个游戏是公平的.
故答案为:公平
14. 如图 1 所示, 双曲线具有光学性质: 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图 2 所示,若双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、 右焦点分别为 F1,F2 ,从 F2 发出的光线经过图中的 A,B 两点反射后,反射光线分别是 AC,BD ,且 cs∠BAC=−35 ， AB⊥BD ， A,F2 ， B 三点共线，则 E 的渐近线方程为_____.

图1

图2
【答案】 y=±223x
【解析】
【分析】由 cs∠BAC=−35 ，化简得到 sin∠F1AB=45 ，设 AF1=5k ，且 F.∵AB=3k ，利用双曲线定义化简得到 2a=3k ，所以 BF2=2a3 ， BF1=8a3 ，利用勾股定理化简得到即 4c2=68a29 ， 化简得到 ba=223 ,所以双曲线的渐近线为 y=±223x .
【详解】如图,由 cs∠BAC=−35 ,可得 sin∠BAC=45 ,所以 sin∠F1AB=45 ,
因为 AB⊥BD ,所以在直角三角形 F1AB 中 sin∠F1AB=BF1AF1=45 ,

设 AF1=5k,BF1=4k⇒AB=3k ,
由双曲线的定义得到 AF1−AF2=2a ,即 AF2=5k−2a ,
又因为 BF1−BF2=2a⇒BF2=4k−2a ,
所以 AB=AF2+BF2=5k−2a+4k−2a=3k ,即 2a=3k
所以 BF2=4k−3k=k=2a3,BF1=4k=8a3 ,
在直角三角形 BF1F2 中, 2c2=8a32+2a32 ,
即 4c2=68a29 ,即 4a2+b2=68a29 ,得到 ba=223
所以双曲线的渐近线为 y=±223x .
故答案为: y=±223x .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−6n,n∈N∗ .
(1)求 Sn 的最小值和数列 an 的通项公式 an ；
(2)记 bn=2an+7 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
【答案】( 1 )-9， an=2n−7
(2) 4n+1−43 .
【解析】
【分析】(1) 因为 Sn=n2−6n 是一个开口向上的二次函数,利用二次函数的性质得到 Sn 取得最小值为 S3=−9 ,利用 an 与 Sn 的关系即可求得 an=2n−7 .
(2)化简得到 bn=4n ，所以数列 bn 是首项为 4 、公比为 4 的等比数列，利用等比数列求和公式即可求解.
【小问 1 详解】
因为 Sn=n2−6n ,这是一个开口向上的二次函数,对称轴为 n=−−62×1=3 ,
所以当 n=3 时, Sn 取得最小值 S3=32−6×3=−9 ,
当 n=1 时， a1=S1=12−6×1=−5 ，
当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=n2−6n−n−12−6n−1=2n−7 ，
验证 n=1 时, 2×1−7=−5=a1 ,满足
所以数列 an 的通项公式为 an=2n−7 .
【小问 2 详解】
由 (1) 得到 an=2n−7 ,所以 bn=22n−7+7=22n=4n ,
所以 bn+1bn=4n+14n=4
所以数列 bn 是首项为 4 、公比为 4 的等比数列,
所以 Tn=41−4n1−4=4n+1−43
16. 如图,有一枚质地均匀的正方体骰子,抛掷这枚正方体骰子一次,观察它落地时朝上的面的点数,得到样本空间为 Ω . 记事件 A= “得到的点数为偶数”,记事件 B= “得到的点数不大于 4 ”,记事件 C= “得到的点数为质数”.

(1)请写出该试验的样本空间 Ω ；
(2)判断 PABC=PAPBPC 是否成立，并说明理由；
(3)连续抛掷 2 次这个骰子,记事件 Dii=1,2 为第 i 次抛掷这个骰子,事件 AB 发生. 求连续
抛掷 2 次这个骰子,事件 AB 恰好发生 1 次的概率.
【答案】(1) Ω={1,2,3,4,5,6}
(2)成立，理由见解析.
(3) 49
【解析】
【分析】(1) 抛掷这枚正方体骰子共 6 个结果, 试验的样本空间直接写出即可.
(2)分别计算出 PAPBPC 与 PABC 的值证明即可.
(3)连续抛掷 2 次，恰好发生 1 次，分为两种情况求解即可.
【小问 1 详解】
试验的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6} .
【小问 2 详解】
PABC=PAPBPC 成立,理由如下:
事件 A= “得到的点数为偶数” ={2,4,6} ,则 PA=36=12 ;
事件 B= “得到的点数不大于4” ={1,2,3,4} ,则 PB=46=23 ;
事件 C= “得到的点数为质数” ={2,3,5} ,则 PC=36=12 ;
则 PAPBPC=12×23×12=16
事件 ABC={2} ,则 PABC=16 .
所以 PABC=PAPBPC .
【小问 3 详解】
事件 AB={2,4} ,则 PAB=26=13,PAB=23 ,
连续抛掷 2 次,恰好发生 1 次的概率为:
P=PABPAB+PABPAB=13×23+23×13=49.
17. 已知圆 C:x2+y2−2x−15=0 内有一点 P−1,2 . 过点 P 且倾斜角为 α 的直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点.
(1)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程和 α 的值；
(2)若 S△ABC=43 ，求直线 l 的方程.
【答案】(1) x−y+3=0,α=π4 ;
(2) x=−1 或 y=2
【解析】
【分析】(1) 求出圆心和半径,由垂径定理得直线 l 的斜率为 1,故 tanα=1 ,从而得到 α=π4 , 并求出直线 l 的方程;
(2)分 α=90∘ 和 α≠90∘ 两种情况，由垂径定理可得弦长，结合三角形面积得到方程，求出答案.
【小问 1 详解】
C:x2+y2−2x−15=0⇒x−12+y2=16 ,故圆心为 C1,0 ,半径为 4, 故 kPC=2−0−1−1=−1 ,
当弦 AB 被点 P−1,2 平分时,由垂径定理得直线 l 的斜率为 1,故 tanα=1 , 所以 α=π4 ,所以直线 l 的方程为 y−2=x+1 ,即 x−y+3=0 ;
【小问 2 详解】
当 α=90∘ 时, C:x2+y2−2x−15=0 中,
令 x=−1 得, −12+y2+2−15=0 ,解得 y=±23 ,故 AB=43 ,
又 C1,0 到直线 x=−1 的距离为 2,故 S△ABC=12AB⋅2=43 ,满足要求;
当 α≠90∘ 时,设直线 l 的方程为 y−2=kx+1 ,即 kx−y+k+2=0 ,
点 C1,0 到直线 kx−y+k+2=0 的距离为 d=k−0+k+2k2+1=2k+2k2+1 ,
又 AB=242−d2,S△ABC=43 ，故 12AB⋅d=42−d2⋅d=43 ，
解得 d=2 或 23 ,
当 d=2 时, 2k+2k2+1=2 ,解得 k=0 ,直线方程为 y=2 ;
当 d=23 时, 2k+2k2+1=23 ,变形得到 k2−k+1=0 ,方程无解,
综上,直线方程为 x=−1 或 y=2 .
18. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中, H,P,Q 分别是 BC,AB,AC1 的中点, B1H⊥ 平面 ABC ,且 B1H=23,AC⊥BC,CA=CB=4 .

(1)求证: PQ// 平面 BCC1B1 ；
(2)求平面 BCC1B1 与平面 B1PQ 的夹角的余弦值；
(3)若线段 HC 上存在点 R 到平面 B1PQ 的距离为 71313 ，求直线 RP 与平面 B1PQ 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 31313
(3) 76565
【解析】
【分析】(1) 以点 H 为原点,建立空间直角坐标系,得到向量 PQ=0,3,3 和平面 BCC1B1 的法向量为 n1=1,0,0 ,求得 PQ⋅n1=0 ,得到 PQ⊥n1 ,进而证得 PQ// 平面 BCC1B1 ;
(2)由(1)得到 B1P=2,0,−23 ，求得平面 B1PQ 的法向量为 n2=3,−1,3 ，结合向量的夹角公式, 即可求解;
(3)设 R0,m,0 ，得到 RP=2,−m,0 ，由点 R 到平面 B1PQ 的距离，列出方程求得 m=1 ， 得到 RP=2,−1,0 ,结合向量的夹角公式,即可求解.
【小问 1 详解】
证明: 因为 H,P 分别是 BC,AB 的中点,所以 HP//AC ,
因为 AC⊥BC ,可得 HP⊥BC ,又因为 B1H⊥ 平面 ABC ,
以点 H 为原点,以 HP,HC,HB1 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,可得 H0,0,0,A4,2,0,C0,2,0,B0,−2,0,B10,0,23 ,
C10,4,23,P2,0,0,Q2,3,3,
所以向量 PQ=0,3,3 ,且平面 BCC1B1 的法向量为 n1=1,0,0 ,
则 PQ⋅n1=0 ,所以 PQ⊥n1 ,
又因为 PQ⊄ 平面 BCC1B1 ,所以 PQ// 平面 BCC1B1 .
【小问 2 详解】
解: 由 (1) 中的空间直角坐标系,可得向量 B1P=2,0,−23 ,
设平面 B1PQ 的法向量为 n2=x,y,z ,则 n2⋅PQ=3y+3z=0n2⋅B1P=2x−23z=0 ,
令 x=3 ,可得 y=−1,z=3 ,所以 n2=3,−1,3 ,
设平面 BCC1B1 与平面 B1PQ 的夹角为 θ1 ,则 csθ1=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=31313 , 则平面 BCC1B1 与平面 B1PQ 的夹角的余弦值为 31313 .
【小问 3 详解】
解: 设 R0,m,0 (其中 m∈0,2 ),可得 RP=2,−m,0 ,
则点 R 到平面 B1PQ 的距离 RP⋅n2n2=713 ,即 6+m13=713 ,
解得 m=1 ,所以 RP=2,−1,0 ,
设直线 RP 与平面 B1PQ 所成角为 θ2 ,则 sinθ2=csRP,n2=RP⋅n2RPn2=76565 ,
则直线 RP 与平面 B1PQ 所成角的正弦值为 76565 .

19. 如图,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时,记线段 PD 的中点 M 的轨迹为曲线 C (当点 P 经过圆与 x 轴的交点时,规定点 M 与点 P 重合).

(1)求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 的形状；
(2)设曲线 C 与 x 轴的一个交点为 Et,0t>0 ,过点 E 作两条互相垂直的直线分别交曲线 C 于点 A 、点 BA、B异于点E .
①直线 AB 是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由；
②过点 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 G . 证明存在定点 Q ，使得 GQ 为定值.
【答案】(1) x24+y2=1
(2)① 65,0 ，②证明见解析.
【解析】
【分析】(1) 所以设点 M 的坐标为 x,y ,则 Px,2y ,将点 Px,2y 代入圆的方程化简即可求解;
(2) 设直线 AB 为 x=my+n,Ax1,y1,Bx2,y2 联立方程由韦达定理得到: y1+y2=−2mnm2+4,y1y2=n2−4m2+4 ,因为 EA⊥EB ,所以 EA⋅EB=0 ,化简得到 n=65 ,因此直线 AB 的方程为 x=my+65 ,恒过定点 65,0 .
②根据直线 AB 恒过定点 F65,0 ,结合 EG⊥AB ,可得点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆, GQ 恒等于半径 25 .
【小问 1 详解】
设点 M 的坐标为 x,y ,由 PD⊥x 轴于 D,M 为线段 PD 的中点,得点 Px,2y ,
因为点 P 在圆 x2+y2=4 上,所以 x2+4y2=4 ,即 x24+y2=1 所以曲线 C 的方程为 x24+y2=1 .
【小问 2 详解】
①由(1)知点 E2,0 ，设直线 AB 为 x=my+n ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 .
联立方程 x=my+nx24+y2=1 ,得到 m2+4y2+2mny+n2−4=0 ,
由韦达定理: y1+y2=−2mnm2+4,y1y2=n2−4m2+4 ;
因为 EA⊥EB ,所以 EA⋅EB=0,EA=x1−2,y1,EB=x2−2,y2 ,
因为 x1=my1+n,x2=my2+n ,
所以 my1+n−2my2+n−2+y1y2=0 ,
即 m2+1y1y2+mn−2y1+y2+n−22=0 ,
即 m2+1⋅n2−4m2+4+mn−2⋅−2mnm2+4+n−22=0
化简得到 n−25n−6=0 .
因为 A,B 异于 E2,0 ,所以 n≠2 ,故 5n−6=0⇒n=65 ,
因此直线 AB 的方程为 x=my+65 ,恒过定点 65,0 .
②已知直线 AB 恒过定点 F65,0 ，
因为 EG⊥AB ,所以 ∠EGF=90∘ ,点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆,
则 EF 的中点为 Q85,0 ,圆的半径为 2−652=25 .
因此,对圆上任意一点 G,GQ 恒等于半径 25 ,即存在定点 Q85,0 ,使得 GQ 为定值.