2025-2026学年广东省东莞市长安镇九年级上学期期末考数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年广东省东莞市长安镇九年级上学期期末考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了若是方程的一个根，则的值为，对于抛物线，下列说法正确的是，阿基米德曾说过，如图，北京市某处位于北纬等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题3分，共30分）
1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.若是方程的一个根，则的值为（ ）
A.B.8C.9D.
3.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A.B.C.1D.4
4.两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ）
A.B.C.D.
5.一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A.至多有1个球是红球B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球D.至少有1个球是黑球
6.对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为
C.抛物线的对称轴为直线
D.当时，y随x的增大而增大
7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ）
A.B.C.D.
8.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
10.如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A.（千米）B.（千米）
C.（千米）D.（千米）
二．填空题（每小题3分，共15分）
11.写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、．所写的一元二次方程为____________．
12.如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
13.小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为______．（结果保留）
14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______．
15.一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
三．解答题（每小题7分，共21分）
16 解方程：．
17.如图，已知点、、．
（1）将绕点逆时针旋转得，画出．
（2）画出关于原点成中心对称的图形．
18.如图，在中，是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
19.“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
（1）求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品概率是______（精确到0.01）；
（2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？
（3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？
20.如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．
（1）判断直线与的位置关系．并说明理由；
（2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积．
21.如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
五、解答题（22题13分，23题14分，共27分）
22.综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
23.【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接．
【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，若，则______（用含的代数式表示）；
【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点．
①如图2，当点位于边上时，求证：；
②若，当时，求的长；
【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，则的最大值为______．
抽取的头盔数
500
1000
1500
2000
3000
4000
合格品数
490
984
1470
1966
2946
3932
合格品频率
0.980
0.984
0.980
0.982
0.983