2025-2026济源市九年级数学期末试卷及答案

这是一份2025-2026济源市九年级数学期末试卷及答案，共11页。
1. 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，利用新篆书生成器转换出“中华崛起”，其中是中心对称图形的是
2. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠A=25°，则∠BOC的度数为
A.45°B.50°C.60°D.65°
3. 关于x的一元二次方程3x2−2x+1=0的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O。若△ABC的面积为m，OB：OE=3：5，则△DEF的面积是
A. 53mB. 85m
C. 259mD. 6425m
5. 一个暗箱中装有15张不同颜色的卡片（除颜色外其余均相同），其中有n张红卡。每次摸出一张卡记录下颜色后再放回，统计每次试验红卡出现的频率如图，则n的值最可能是
A.6B.8C.9D.10
6. 已知二次函数y=−x2−mx+2026的图象上有两点A(−1，n)和B(3，n)，则n的值等于
A.2025B.2024C.2023D.2022
7. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(−1，0)，点A为第二象限角平分线上一点，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得CB，若AB^的长度为5π2，则旋转后点B的坐标为
A.（2，2）B.（23，2）
C.（2，23）D.（3，3）
8. 如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交对角线BD于点M，MN∥AD交AB于点N。若AD=5，则MN的长是
A. 53B. 52
C. 73D. 72
9. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， AB=AC， BC=22， 点 E 为 AC 边的中点， 过点 C 作 CD⊥BE 交 BE 的延长线于点 D， 则线段 DE 的长度为
A. 55B. 13
C. 33D. 23
10. 如图1， 在菱形 ABCD 中， 点 P 为对角线 BD 上一动点， 沿路径 B→D 以 3 cm/s 的速度运动， 同时点 Q 从 B 出发沿路径 B→C 以 1 cm/s 的速度运动. 设运动时间为 x(s)， ∆BPQ 的面积为 y(cm2)， y 与 x 的函数图象如图2所示. 若 ∠BAD=120°， 则图2中 m 的值为
A.3B.2
C. 6D. 25
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一条经过原点且开口向上的抛物线的解析式 ______
12. 农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具. 已知手压水井的阻力和阻力臂分别是 800 N 和 0.2 m， 则动力 F1（单位：N）与动力臂 L1（单位：m）之间的函数表达式是 ______.
13. 小明在与DeepSeek对话中输入如下的文字， 当敲下回车键后，DeepSeek给出的这个数应该是 ______.
有没有这样一个正数，先计算它的平方，再减去它的2倍后再减去4，结果等于这个数？
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14. 如图， 在扇形 BAC 中， ∠ABC=30°， 以 BA 为直径在 AB 上方作半圆， 交 BC 于点 D， 若 AB=4， 则阴影部分的面积是 ______.
15. 如图， 在 Rt∆ABC 中， ∠ACB=90°， AC=BC， AB=62， 点 P 为平面内一点， 且 CP=13AC， 点 Q 为 AP 的中点， 连接 BQ. 将 CP 绕点 C 在平面内旋转， 则 BQ 的最小值和最大值分别为 ______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1） 计算： 12−2−20260+2cs60°.（2） 解方程： x2−2x−4=0.
17.（9分） 数学活动课上， 老师在一个暗箱中放入四个小球， 上面分别标注有如下数字， 四个小球除标注数字不同外其他完全相同.
（1） 小何从暗箱中随机摸取一个小球， 摸取小球上的数字是无理数的概率是 ______.
（2）现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠.这个规则公平吗？ 请用所学概率知识说明理由.
18.（9分）悟颖塔（图1）位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，相传为唐代和尚悟颖所建，是豫南地区现存最古之砖塔.该塔为楼阁式石塔，形制古朴，极具历史与建筑价值，悟颖塔（记为AB）前有一土坡，其斜坡CD的坡比i=1:3，土坡坡面上有一点E，点A，B，C，D，E在同一平面内.如图2所示，小红从点E处测得悟颖塔顶A处的仰角为37°，测得斜坡坡底点C处与悟颖塔的水平距离BC=16.5m，且CE的长度为12 m.求悟颖塔AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）.
19.（9分）如图1，Rt∆ABC中，∠ACB=90°，斜边AB与地面在同一水平面内，假设一束阳光垂直照射地面，直角边AC，BC投射在AB上影子分别为AD和BD，则称点D是点C的“投影点”.
（1）如图1，猜想线段CD，BD与AD之间的数量关系，并证明.
（2）如图2，已知点D在线段AB上，且BD=3AD=6.
①用无刻度的直尺和圆规作∆ABC，使得点D为点C的“投影点”（保留作图痕迹，不写作法）；
②在①的基础上，求线段CD的长.
20.（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:y=12x+2与x轴，y轴交于A，B两点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过直线l上的点P(n,3).
（1）求反比例函数的解析式.
（2）将直线AB沿y轴向下平移，当AB经过点O时平移停止，AB交反比例函数的图象于点Q，求点Q的坐标.
21.（9分）独轮车（图1）起源于西汉，是中国古代重要的运输工具. 它结构简单、轻便灵活，能适应狭窄田埂与乡村小路，解决了农村零散货物运输难题，助力农业生产与乡村物资流通，是古代劳动人民智慧的结晶. 如图2是从独轮车图片中抽象的几何模型，推车人上肢躯干BC与车身AC垂直，车轮圆心O在AC上，AE为车轮⊙O的直径，AB交圆周于点D，连接CD，且CD=CB.
（1）求证：CD为⊙O的切线.
（2）若人的躯干BC=120 cm，车身AC=180 cm，求车轮⊙O的半径.
22.（10分）【问题情境】如图1，果树拉枝是果树栽培管理中的一项重要技术，通过拉枝可以调整枝条生长方向，改善树冠通风透光条件，促进花芽分化和果实发育. 如图2是某果树拉枝后的横截面示意图，其中枝干OD垂直于地面，作为支撑枝条的主干，以垂直于地面的枝干OD为y轴，水平线为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在枝条形成的抛物线的最低点到OD的水平距离为1 m，离地面的距离为32 m，请尝试解决以下问题：
（1）设枝条抛物线上某处离地面的距离为y(m)，该处离枝干OD的水平距离为x(m)，求y与x之间的函数关系式.
（2）若牵引绳的端点B到y轴的水平距离为4 m，求点B离地面的距离.
（3）在（2）的条件下，在抛物线BD段上取点E，过点E作y轴的平行线交牵引绳AB于点F，若
EF的长度超过1.5 m，大风之下枝条有折断的危险，已知点A到地面的距离定为52 m，请问在此次牵引下，大风之下的枝条是否有折断的危险？ 请说明理由.
23.（10分）剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法. 它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁.
（1）【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片ABCD，在AD边上任意确定一定E，分
别找到AB，DC边的中点M，N，连接ME，NE. 分别将∆AME和∆DNE剪下，贴合到∆BMF和∆CNG处，进而得到∆EFG. 连接MN，则MN与FG的关系为__________.
（2）【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若∆EMN的面积为a，请用含a的代数式表示四边形MNGF的面积（写出推理过程）.
（3）【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片ABCD中，点G为AD边上一点，M，N分别为AG，DG的中点，分别将∆ABM和∆DCN剪下，贴合到∆EGM和∆EGN处，进而得到∆EBC. 通过测量发现BC=12，∠BEC=90°，BE=3CE. 求线段AG，EG和DG的长.
参考答案
RJ九年级2025—2026学年上学期期末学业质量监测
数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. y=x2（答案不唯一） 12. F1=160L1 13.4 14. 2π−23
15. 35−1，35+1 ………………………………………………………………………（对1个得2分，两个全对得3分）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（1）解：原式=4−1+2×12 …………………………………………………………………………（3分）
=4−1+1
=4. ………………………………………………………………………………………………（5分）
（2）解：x2−2x+1=5， ………………………………………………………………………………………（2分）
(x−1)2=5， ……………………………………………………………………………………（3分）
x−1=5或x−1=−5，
所以x1=5+1，x2=−5+1. …………………………………………………………………………（5分）
17. 解：（1）12 …………………………………………………………………………………………………………（3分）
（2）这个规则不公平， ……………………………（4分）
理由：设四个数字依次为A，B，C，D，画树状图如下： ………………………………………………………………（5分）
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸取的小球上的数字都是无理数结果有2种，
∴ 两次摸取的小球上的数字都是无理数的概率=212=16， …………………………………（7分）
∴ 小何获得电影票的概率=16，小楠获得电影票的概率=56.
∵ 160) 的图象上，
∴k=2×3=6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=6x(x>0)（3分）
（2） 在 y=12x+2 中， 令 x=0， 则 y=2， 令 y=0， 则 x=−4，
∴A(-4,0)，B(0,2)，∴OA=4，OB=2（5分）
如图，过Q作QC⊥y轴于点C，设Q(m,6m)，∴QC=m，OC=6m，
由平移的性质可知，AB∥OQ，∴∠ABO=∠COQ.
在∆ABO与∆QOC中，tan∠ABO=AOBO，tan∠QOC=CQCO，
∴AOBO=CQCO， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8分）
∴42=m6m，解得m=23（负值已舍去），6m=623=3，
∴Q(23,3). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分)
21. （1）证明：连接OD，如图，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB.
∵∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°.
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (3分)
∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODC=180°−90°=90°.
又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （6分）
（2）解：设圆的半径为r，则OD=OA=r cm，
∵AC=180 cm，BC=120 cm.
∴OC=(180−r) cm，CD=BC=120 cm， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （7分）
∵∠ODC=90°，∴OD2+CD2=OC2，
∴r2+1202=(180−r)2，∴r=50，
故车轮⊙O的半径为50 cm. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （9分）
22. 解：（1）根据题意知，抛物线顶点坐标为1,32，点D的坐标为(0,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+32， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （1分）
把(0,2)代入，得2=a(0−1)2+32，
解得a=12，
∴抛物线的解析式为y=12×(x−1)2+32. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （3分）
（2）当x=4时，y=12(4−1)2+32=6，
∴ 点B离地面的距离为6米. …………………………………………………………………………（5分）
（3）有折断的危险， ………………………………………………………………………………………………（6分）
理由如下：由（2）可知B(4,6)，设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把A(0,52)，B(4,6)代入解析式得：
{b=52,4k+b=6, 解得{k=78,b=52,
∴ 直线AB的解析式为y=78x+52， ………………………………………………………………（8分）
∴ EF的长度为直线AB上点F的纵坐标减去抛物线上点E的纵坐标，
设点E的横坐标为a，
即EF=(78a+52)−[12(a−1)2+32]=−12(a−158)2+289128。
∵ −12192128，
∴ 在此次牵引下，大风之下的枝条有折断的危险. ……………………………………………………（10分）
23. 解：（1） MN∥FG且MN=12FG ……………………………………………………………………（2分）
（2） 由（1）知MN∥FG，∴∆EMN∼∆EFG， …………………………………………………………（3分）
∴ S∆EMNS∆EFG=(MNFG)2=14，∴S∆EMNS∆EFG−S∆EMN=14−1， ……………………………………………………（5分）
即S∆EMNS四边形MNGF=13，∴S四边形MNGF=3S∆EMN=3a。 ……………………………………………………（7分）
（3） 在Rt∆EBC中，∠BEC=90°，tan∠ECB=EBEC=3，∴∠ECB=60°。
易知MN为∆EBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12BC=6，∴∠ENM=∠ECB=60°，
∴ ∠EMN=∠EBC=30°。
在Rt∆EMN中，EM=MN·sin60°=33，EN=MN·cs60°=3。
在Rt∆EGM中，MG=ME·cs30°=92，EG=ME·sin30°=332，
∴ AG=2MG=2×92=9，DG=AD−AG=BC−AG=12−9=3。
答：线段AG的长为9，EG的长为332，DG的长为3。 ………………………………（10分，每个1分）。