2025-2026学年湖南省湘西州九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年湖南省湘西州九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意：本卷包括26道大题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分）
1.2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证了湖南足球的荣耀与风采．下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列成语中，表示必然事件的是（ ）
A.水中捞月B.守株待兔
C.水涨船高D.刻舟求剑
3.已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A.2B.3C.4D.5
4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A.B.
C.5，2，1D.
5.点（－2，3）关于原点对称的点的坐标是
A.(2,3)B.(－2,－3)C.(2,－3)D.(－3,2)
6.如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，点在上，若，则度数为（ ）
A.B.C.D.
8.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是
A.B.C.D.
9.据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11.抛物线的顶点坐标是______．
12.如图，A、B、C、D是上的四点，若，则的度数为____________．
13.已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为________．
14.数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________．
15.若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________．
16.如图，把绕点A顺时针方向旋转到的位置，使点C在线段上，连接，则的度数为____________．
17.2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米．
18.如图，正方形的边长为的半径为3，若在正方形内平移（可以与正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为____________．
三、解答题（本大题共8道小题，满分66分）
19.解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
20.已知关于的方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．
21.湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富．春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游．小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区．由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点．
（1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率__________（填“相等”或“不相等”）；
（2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城．于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村．请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率．
22.在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后得到，写出点的坐标；
（2）在（1）条件下，求点A旋转到点，所扫过的面积．
23.春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价为18元．试销一段时间后发现，若每副对联售价定为38元，每天可销售60副；若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副．
（1）若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利于顾客，那么每副对联的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每副对联售价为多少元时，每天销售这种对联获利最大，最大利润是多少元？
24.如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接和．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
25.【问题背景】
如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点．
【问题探究】
（1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论．
①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程．
②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程．
【问题解决】
（2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度；
（3）在（1）条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由．
26.【阅读材料】如图①，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
【解决问题】
如图②，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）若点P为第二象限拋物线上一动点，其横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；
（3）若点P是抛物线上与A、B、C不重合的一点，过P作轴于点M，交直线于点N，当时，求点P的坐标．